Theorem shsspwh 5153

Description: Subspaces are subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shsspwh	⊢ Sℋ ⊆ ℘ ℋ

Proof of Theorem shsspwh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 1961	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ ℘∪ Sℋ
2		helsh 5152	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
3		shss 5117	. . . . 5 ⊢ (x ∈ Sℋ → x ⊆ ℋ )
4	3	rgen 1247	. . . 4 ⊢ ∀x ∈ Sℋ x ⊆ ℋ
5		ssunieq 1945	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Sℋ ∧ ∀x ∈ Sℋ x ⊆ ℋ ) → ℋ = ∪ Sℋ )
6	2, 4, 5	mp2an 520	. . 3 ⊢ ℋ = ∪ Sℋ
7		pweq 1800	. . 3 ⊢ ( ℋ = ∪ Sℋ → ℘ ℋ = ℘∪ Sℋ )
8	6, 7	ax-mp 6	. 2 ⊢ ℘ ℋ = ℘∪ Sℋ
9	1, 8	sseqtr4 1533	1 ⊢ Sℋ ⊆ ℘ ℋ

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798  ∪cuni 1919   ℋ chil 4958   S_ℋ csh 4967

This theorem is referenced by:  chsspwh 5154  shsupunss 5316

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org