Theorem shsupunss 5316

Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum.

Assertion

Ref	Expression
shsupunss	⊢ (A ⊆ Sℋ → ∪A ⊆ (span ‘∪A))

Proof of Theorem shsupunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsspwh 5153	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ ℘ ℋ
2		sstr 1511	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ⊆ ℘ ℋ ) → A ⊆ ℘ ℋ )
3	1, 2	mpan2 519	. . . 4 ⊢ (A ⊆ Sℋ → A ⊆ ℘ ℋ )
4		uniss 1936	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ∪A ⊆ ∪℘ ℋ )
5	3, 4	syl 12	. . 3 ⊢ (A ⊆ Sℋ → ∪A ⊆ ∪℘ ℋ )
6		unipw 1960	. . 3 ⊢ ∪℘ ℋ = ℋ
7	5, 6	syl6ss 1546	. 2 ⊢ (A ⊆ Sℋ → ∪A ⊆ ℋ )
8		spanss2 5315	. 2 ⊢ (∪A ⊆ ℋ → ∪A ⊆ (span ‘∪A))
9	7, 8	syl 12	1 ⊢ (A ⊆ Sℋ → ∪A ⊆ (span ‘∪A))

Syntax hints:   → wi 2   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798  ∪cuni 1919   ‘cfv 2422   ℋ chil 4958   S_ℋ csh 4967  spancspn 4971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-span 5276

metamath.org