Theorem shunss 5338

Description: Union is smaller than subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ A ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ B ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shunss	⊢ (A ∪ B) ⊆ (A +ℋ B)

Proof of Theorem shunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → (y +v z) = (x +v z))
2	1	cleq2d 1112	. . . . . 6 ⊢ (y = x → (x = (y +v z) ↔ x = (x +v z)))
3		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (z = 0v → (x +v z) = (x +v 0v))
4	3	cleq2d 1112	. . . . . 6 ⊢ (z = 0v → (x = (x +v z) ↔ x = (x +v 0v)))
5	2, 4	rcla42ev 1405	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ A ∧ 0v ∈ B) ∧ x = (x +v 0v)) → ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z))
6		shincl.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ Sℋ
7		sh0 5122	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Sℋ → 0v ∈ B)
8	6, 7	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ 0v ∈ B
9	8	jctr 239	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → (x ∈ A ∧ 0v ∈ B))
10		shincl.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ Sℋ
11	10	shel 5120	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → x ∈ ℋ )
12		ax-hvaddid 4988	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℋ → (x +v 0v) = x)
13	11, 12	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ A → (x +v 0v) = x)
14	13	cleqcomd 1106	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → x = (x +v 0v))
15	5, 9, 14	sylanc 361	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z))
16		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (y = 0v → (y +v z) = (0v +v z))
17	16	cleq2d 1112	. . . . . 6 ⊢ (y = 0v → (x = (y +v z) ↔ x = (0v +v z)))
18		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (z = x → (0v +v z) = (0v +v x))
19	18	cleq2d 1112	. . . . . 6 ⊢ (z = x → (x = (0v +v z) ↔ x = (0v +v x)))
20	17, 19	rcla42ev 1405	. . . . 5 ⊢ (((0v ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x = (0v +v x)) → ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z))
21		sh0 5122	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ Sℋ → 0v ∈ A)
22	10, 21	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ 0v ∈ A
23	22	jctl 238	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → (0v ∈ A ∧ x ∈ B))
24	6	shel 5120	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ B → x ∈ ℋ )
25		hvaddid2t 5003	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℋ → (0v +v x) = x)
26	24, 25	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ B → (0v +v x) = x)
27	26	cleqcomd 1106	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → x = (0v +v x))
28	20, 23, 27	sylanc 361	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z))
29	15, 28	jaoi 275	. . 3 ⊢ ((x ∈ A ∨ x ∈ B) → ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z))
30		elun 1601	. . 3 ⊢ (x ∈ (A ∪ B) ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B))
31	10, 6	shsel 5281	. . 3 ⊢ (x ∈ (A +ℋ B) ↔ ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = (y +v z))
32	29, 30, 31	3imtr4 192	. 2 ⊢ (x ∈ (A ∪ B) → x ∈ (A +ℋ B))
33	32	ssriv 1508	1 ⊢ (A ∪ B) ⊆ (A +ℋ B)

Syntax hints:   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  shunssj 5340  shsumval2 5361  shjshs 5412  spanun 5450  osum 5538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org