Theorem snfi 3337

Description: A singleton is finite.

Assertion

Ref	Expression
snfi	⊢ ∃x ∈ ω {A} ≈ x

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem snfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 1816	. . . . 5 ⊢ (x = A → {x} = {A})
2	1	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (x = A → ({x} ≈ 1o ↔ {A} ≈ 1o))
3		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
4	3	ensn1 3329	. . . 4 ⊢ {x} ≈ 1o
5	2, 4	vtoclg 1383	. . 3 ⊢ (A ∈ V → {A} ≈ 1o)
6		1onn 3193	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
7		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = 1o → ({A} ≈ x ↔ {A} ≈ 1o))
8	7	rcla4ev 1403	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ {A} ≈ 1o) → ∃x ∈ ω {A} ≈ x)
9	6, 8	mpan 518	. . 3 ⊢ ({A} ≈ 1o → ∃x ∈ ω {A} ≈ x)
10	5, 9	syl 12	. 2 ⊢ (A ∈ V → ∃x ∈ ω {A} ≈ x)
11		snprc 1838	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ V ↔ {A} = ∅)
12		en0 3328	. . . 4 ⊢ ({A} ≈ ∅ ↔ {A} = ∅)
13		peano1 2390	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
14		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → ({A} ≈ x ↔ {A} ≈ ∅))
15	14	rcla4ev 1403	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ {A} ≈ ∅) → ∃x ∈ ω {A} ≈ x)
16	13, 15	mpan 518	. . . 4 ⊢ ({A} ≈ ∅ → ∃x ∈ ω {A} ≈ x)
17	12, 16	sylbir 176	. . 3 ⊢ ({A} = ∅ → ∃x ∈ ω {A} ≈ x)
18	11, 17	sylbi 174	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → ∃x ∈ ω {A} ≈ x)
19	10, 18	pm2.61i 110	1 ⊢ ∃x ∈ ω {A} ≈ x

Syntax hints:  ¬ wn 1   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348  ∅c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054  ωcom 2372  1_oc1o 3099   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  prfi 3444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-1o 3104  df-en 3274

metamath.org