Theorem so 2152

Description: Deduce strict ordering from its properties.

Hypothesis

Ref	Expression
so.1	⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) → ((xRy ↔ ¬ (x = y ∨ yRx)) ∧ ((xRy ∧ yRz) → xRz)))

Assertion

Ref	Expression
so	⊢ R Or A

Distinct variable group(s):   x,y,z,R   x,A,y,z

Proof of Theorem so

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. . . . 5 ⊢ x = x
2		orc 225	. . . . 5 ⊢ (x = x → (x = x ∨ xRx))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (x = x ∨ xRx)
4		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → (y ∈ A ↔ x ∈ A))
5	4	anbi2d 468	. . . . . 6 ⊢ (y = x → ((x ∈ A ∧ y ∈ A) ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ A)))
6		cleq2 1110	. . . . . . . 8 ⊢ (y = x → (x = y ↔ x = x))
7		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (y = x → (yRx ↔ xRx))
8	6, 7	orbi12d 475	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → ((x = y ∨ yRx) ↔ (x = x ∨ xRx)))
9		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (y = x → (xRy ↔ xRx))
10	9	negbid 463	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → (¬ xRy ↔ ¬ xRx))
11	8, 10	bibi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (y = x → (((x = y ∨ yRx) ↔ ¬ xRy) ↔ ((x = x ∨ xRx) ↔ ¬ xRx)))
12	5, 11	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (y = x → (((x ∈ A ∧ y ∈ A) → ((x = y ∨ yRx) ↔ ¬ xRy)) ↔ ((x ∈ A ∧ x ∈ A) → ((x = x ∨ xRx) ↔ ¬ xRx))))
13		3anass 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A) ↔ (x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ y ∈ A)))
14		anidm 331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ A ∧ y ∈ A) ↔ y ∈ A)
15	14	anbi2i 367	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ y ∈ A)) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ A))
16	13, 15	bitr2 152	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A))
17		pm4.2i 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = y → (x ∈ A ↔ x ∈ A))
18		pm4.2i 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = y → (y ∈ A ↔ y ∈ A))
19		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = y → (z ∈ A ↔ y ∈ A))
20	17, 18, 19	bi3and 636	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = y → ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A)))
21	20	imbi1d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) → (xRy ↔ ¬ (x = y ∨ yRx))) ↔ ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A) → (xRy ↔ ¬ (x = y ∨ yRx)))))
22		so.1	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) → ((xRy ↔ ¬ (x = y ∨ yRx)) ∧ ((xRy ∧ yRz) → xRz)))
23	22	pm3.26d 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) → (xRy ↔ ¬ (x = y ∨ yRx)))
24	21, 23	chv 984	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A) → (xRy ↔ ¬ (x = y ∨ yRx)))
25	16, 24	sylbi 174	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A) → (xRy ↔ ¬ (x = y ∨ yRx)))
26	25	bicon2d 404	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A) → ((x = y ∨ yRx) ↔ ¬ xRy))
27	12, 26	chv 984	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ x ∈ A) → ((x = x ∨ xRx) ↔ ¬ xRx))
28	3, 27	mpbii 168	. . 3 ⊢ ((x ∈ A ∧ x ∈ A) → ¬ xRx)
29	28	anidms 332	. 2 ⊢ (x ∈ A → ¬ xRx)
30	22	pm3.27d 262	. 2 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) → ((xRy ∧ yRz) → xRz))
31	26	biimprd 136	. . 3 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A) → (¬ xRy → (x = y ∨ yRx)))
32		3orass 584	. . . 4 ⊢ ((xRy ∨ x = y ∨ yRx) ↔ (xRy ∨ (x = y ∨ yRx)))
33		df-or 197	. . . 4 ⊢ ((xRy ∨ (x = y ∨ yRx)) ↔ (¬ xRy → (x = y ∨ yRx)))
34	32, 33	bitr 151	. . 3 ⊢ ((xRy ∨ x = y ∨ yRx) ↔ (¬ xRy → (x = y ∨ yRx)))
35	31, 34	sylibr 175	. 2 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A) → (xRy ∨ x = y ∨ yRx))
36	29, 30, 35	itlso 2151	1 ⊢ R Or A

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   ∧ w3a 581   = weq 797   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   Or wor 2059

This theorem is referenced by:  ltsopi 3810  ltsopq 3869  ltsosr 3997  ltsor 4055  ltso 4279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-un 1490  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138

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