Theorem soirri 2629

Description: A strict order relation is irreflexive.

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ A ∈ V
soi.2	⊢ R Or S
soi.3	⊢ R ⊆ (S × S)

Assertion

Ref	Expression
soirri	⊢ ¬ ARA

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . 4 ⊢ R Or S
2		sonr 2143	. . . 4 ⊢ ((R Or S ∧ A ∈ S) → ¬ ARA)
3	1, 2	mpan 518	. . 3 ⊢ (A ∈ S → ¬ ARA)
4	3	adantl 305	. 2 ⊢ ((A ∈ S ∧ A ∈ S) → ¬ ARA)
5		soi.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
6		soi.3	. . . 4 ⊢ R ⊆ (S × S)
7	5, 6	brel 2459	. . 3 ⊢ (ARA → (A ∈ S ∧ A ∈ S))
8	7	con3i 90	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ S ∧ A ∈ S) → ¬ ARA)
9	4, 8	pm2.61i 110	1 ⊢ ¬ ARA

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   Or wor 2059   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  son2lpi 2631  ltrpq 3879  1pr 3911  ltapr 3945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-po 2128  df-so 2138  df-xp 2424

metamath.org