Theorem sotri 2630

Description: A strict order relation is a transitive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ A ∈ V
soi.2	⊢ R Or S
soi.3	⊢ R ⊆ (S × S)
sotri.4	⊢ B ∈ V
sotri.5	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 9	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → (A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S))
2	1	3exp 611	. . . . 5 ⊢ (A ∈ S → (B ∈ S → (C ∈ S → (A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S))))
3	2	a1d 14	. . . 4 ⊢ (A ∈ S → (B ∈ S → (B ∈ S → (C ∈ S → (A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S)))))
4	3	imp43 288	. . 3 ⊢ (((A ∈ S ∧ B ∈ S) ∧ (B ∈ S ∧ C ∈ S)) → (A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S))
5		sotri.4	. . . 4 ⊢ B ∈ V
6		soi.3	. . . 4 ⊢ R ⊆ (S × S)
7	5, 6	brel 2459	. . 3 ⊢ (ARB → (A ∈ S ∧ B ∈ S))
8		sotri.5	. . . 4 ⊢ C ∈ V
9	8, 6	brel 2459	. . 3 ⊢ (BRC → (B ∈ S ∧ C ∈ S))
10	4, 7, 9	syl2an 349	. 2 ⊢ ((ARB ∧ BRC) → (A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S))
11		soi.2	. . 3 ⊢ R Or S
12		sotr 2144	. . 3 ⊢ ((R Or S ∧ (A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S)) → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
13	11, 12	mpan 518	. 2 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
14	10, 13	mpcom 49	1 ⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   Or wor 2059   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  son2lpi 2631  ltsopq 3869  ltrpq 3879  1pr 3911  prlem934 3933  ltexprlem4 3939  reclem2pr 3951  reclem4pr 3953  ltsosr 3997  addgt0sr 4007  suppsr2 4017  suppsr3 4018  ltsor 4055

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-po 2128  df-so 2138  df-xp 2424

metamath.org