Theorem spansncol 5473

Description: The singletons of collinear vectors have the same span.

Assertion

Ref	Expression
spansncol	⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (span ‘{(B ·s A)}) = (span ‘{A}))

Proof of Theorem spansncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulcl 4068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (y · B) ∈ ℂ)
2	1	ancoms 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (y · B) ∈ ℂ)
3	2	adantll 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (y · B) ∈ ℂ)
4	3	a1d 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (x = (y ·s (B ·s A)) → (y · B) ∈ ℂ))
5		ax-hvmulass 4992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) → ((y · B) ·s A) = (y ·s (B ·s A)))
6	5	3com13 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((y · B) ·s A) = (y ·s (B ·s A)))
7	6	3expa 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → ((y · B) ·s A) = (y ·s (B ·s A)))
8	7	cleq2d 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (x = ((y · B) ·s A) ↔ x = (y ·s (B ·s A))))
9	8	biimprd 136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (x = (y ·s (B ·s A)) → x = ((y · B) ·s A)))
10	4, 9	jcad 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (x = (y ·s (B ·s A)) → ((y · B) ∈ ℂ ∧ x = ((y · B) ·s A))))
11		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = (y · B) → (z ·s A) = ((y · B) ·s A))
12	11	cleq2d 1112	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = (y · B) → (x = (z ·s A) ↔ x = ((y · B) ·s A)))
13	12	rcla4ev 1403	. . . . . . . 8 ⊢ (((y · B) ∈ ℂ ∧ x = ((y · B) ·s A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A))
14	10, 13	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) ∧ y ∈ ℂ) → (x = (y ·s (B ·s A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A)))
15	14	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) → (y ∈ ℂ → (x = (y ·s (B ·s A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A))))
16	15	r19.23adv 1286	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) → (∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A)))
17	16	3adant3 599	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A)) → ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A)))
18		divclt 4223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → (z / B) ∈ ℂ)
19	18	anasss 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (z / B) ∈ ℂ)
20	19	adantlr 310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (z / B) ∈ ℂ)
21	20	a1d 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (x = (z ·s A) → (z / B) ∈ ℂ))
22		ax-hvmulass 4992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z / B) ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) → (((z / B) · B) ·s A) = ((z / B) ·s (B ·s A)))
23		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → B ∈ ℂ)
24	23	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → B ∈ ℂ)
25		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) → A ∈ ℋ )
26	25	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → A ∈ ℋ )
27	22, 20, 24, 26	syl3anc 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (((z / B) · B) ·s A) = ((z / B) ·s (B ·s A)))
28		divcan1t 4228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((B ∈ ℂ ∧ z ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → ((z / B) · B) = z)
29	28	exp31 293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (B ∈ ℂ → (z ∈ ℂ → (B ≠ 0 → ((z / B) · B) = z)))
30	29	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ ℂ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → ((z / B) · B) = z)))
31	30	imp32 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → ((z / B) · B) = z)
32	31	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → ((z / B) · B) = z)
33	32	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (((z / B) · B) ·s A) = (z ·s A))
34	27, 33	eqtr3d 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → ((z / B) ·s (B ·s A)) = (z ·s A))
35	34	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (x = ((z / B) ·s (B ·s A)) ↔ x = (z ·s A)))
36	35	biimprd 136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (x = (z ·s A) → x = ((z / B) ·s (B ·s A))))
37	21, 36	jcad 455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (x = (z ·s A) → ((z / B) ∈ ℂ ∧ x = ((z / B) ·s (B ·s A)))))
38		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (z / B) → (y ·s (B ·s A)) = ((z / B) ·s (B ·s A)))
39	38	cleq2d 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (z / B) → (x = (y ·s (B ·s A)) ↔ x = ((z / B) ·s (B ·s A))))
40	39	rcla4ev 1403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z / B) ∈ ℂ ∧ x = ((z / B) ·s (B ·s A))) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A)))
41	37, 40	syl6 23	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0)) → (x = (z ·s A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A))))
42	41	exp43 301	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ℂ → (A ∈ ℋ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → (x = (z ·s A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A)))))))
43	42	com4l 39	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℋ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → (z ∈ ℂ → (x = (z ·s A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A)))))))
44	43	3imp 608	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (z ∈ ℂ → (x = (z ·s A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A)))))
45	44	r19.23adv 1286	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (∃z ∈ ℂ x = (z ·s A) → ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A))))
46	17, 45	impbid 397	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A)) ↔ ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A)))
47		ax-hvmulcl 4989	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ) → (B ·s A) ∈ ℋ )
48	47	ancoms 334	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) → (B ·s A) ∈ ℋ )
49		elspansnt 5471	. . . . 5 ⊢ ((B ·s A) ∈ ℋ → (x ∈ (span ‘{(B ·s A)}) ↔ ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A))))
50	48, 49	syl 12	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) → (x ∈ (span ‘{(B ·s A)}) ↔ ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A))))
51	50	3adant3 599	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (x ∈ (span ‘{(B ·s A)}) ↔ ∃y ∈ ℂ x = (y ·s (B ·s A))))
52		elspansnt 5471	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℋ → (x ∈ (span ‘{A}) ↔ ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A)))
53	52	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ) → (x ∈ (span ‘{A}) ↔ ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A)))
54	53	3adant3 599	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (x ∈ (span ‘{A}) ↔ ∃z ∈ ℂ x = (z ·s A)))
55	46, 51, 54	3bitr4d 424	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (x ∈ (span ‘{(B ·s A)}) ↔ x ∈ (span ‘{A})))
56	55	cleqrd 1100	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (span ‘{(B ·s A)}) = (span ‘{A}))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202  {csn 1808   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   · cmulc 4032   / cdiv 4091   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960  spancspn 4971

This theorem is referenced by:  spansneleq 5475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-span 5276

metamath.org