Theorem spansncv 5542

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153.

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	⊢ A ∈ Cℋ
spansncv.2	⊢ B ∈ Cℋ
spansncv.3	⊢ C ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansncv	⊢ ((A ⊂ B ∧ B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C}))) → B = (A ∨ℋ (span ‘{C})))

Proof of Theorem spansncv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 260	. 2 ⊢ ((A ⊂ B ∧ B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C}))) → B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})))
2		spansncv.1	. . . 4 ⊢ A ∈ Cℋ
3		spansncv.3	. . . . 5 ⊢ C ∈ ℋ
4	3	spansnch 5467	. . . 4 ⊢ (span ‘{C}) ∈ Cℋ
5		spansncv.2	. . . 4 ⊢ B ∈ Cℋ
6	2, 4, 5	chlubi 5393	. . 3 ⊢ ((A ⊆ B ∧ (span ‘{C}) ⊆ B) → (A ∨ℋ (span ‘{C})) ⊆ B)
7		pssss 1567	. . . 4 ⊢ (A ⊂ B → A ⊆ B)
8	7	adantr 306	. . 3 ⊢ ((A ⊂ B ∧ B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C}))) → A ⊆ B)
9		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ x ∈ B) → x ∈ (A ∨ℋ (span ‘{C})))
10	2, 3	spansnj 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A +ℋ (span ‘{C})) = (A ∨ℋ (span ‘{C}))
11	10	eleq2i 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ (A +ℋ (span ‘{C})) ↔ x ∈ (A ∨ℋ (span ‘{C})))
12	2, 4	chsel 5381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ (A +ℋ (span ‘{C})) ↔ ∃y ∈ A ∃z ∈ (span ‘{C})x = (y +v z))
13	11, 12	bitr3 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ↔ ∃y ∈ A ∃z ∈ (span ‘{C})x = (y +v z))
14		hvsubcan2t 5017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → ((y +v z) −v y) = z)
15	2	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ∈ A → y ∈ ℋ )
16	4	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (z ∈ (span ‘{C}) → z ∈ ℋ )
17	14, 15, 16	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) → ((y +v z) −v y) = z)
18	17	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) → (((y +v z) −v y) ∈ B ↔ z ∈ B))
19	5	chshi 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ B ∈ Sℋ
20		shsubclt 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (B ∈ Sℋ → (((y +v z) ∈ B ∧ y ∈ B) → ((y +v z) −v y) ∈ B))
21	19, 20	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((y +v z) ∈ B ∧ y ∈ B) → ((y +v z) −v y) ∈ B)
22		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (x = (y +v z) → (x ∈ B ↔ (y +v z) ∈ B))
23	22	biimpac 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((x ∈ B ∧ x = (y +v z)) → (y +v z) ∈ B)
24		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((A ⊆ B ∧ y ∈ A) → y ∈ B)
25	24, 7	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((A ⊂ B ∧ y ∈ A) → y ∈ B)
26	21, 23, 25	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((x ∈ B ∧ x = (y +v z)) ∧ (A ⊂ B ∧ y ∈ A)) → ((y +v z) −v y) ∈ B)
27	26	exp43 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (x ∈ B → (x = (y +v z) → (A ⊂ B → (y ∈ A → ((y +v z) −v y) ∈ B))))
28	27	com14 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (y ∈ A → (x = (y +v z) → (A ⊂ B → (x ∈ B → ((y +v z) −v y) ∈ B))))
29	28	imp45 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ A ∧ (x = (y +v z) ∧ (A ⊂ B ∧ x ∈ B))) → ((y +v z) −v y) ∈ B)
30	18, 29	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) → ((y ∈ A ∧ (x = (y +v z) ∧ (A ⊂ B ∧ x ∈ B))) → z ∈ B))
31	30	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) ∧ (y ∈ A ∧ (x = (y +v z) ∧ (A ⊂ B ∧ x ∈ B)))) → z ∈ B)
32	31	anandis 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y ∈ A ∧ (z ∈ (span ‘{C}) ∧ (x = (y +v z) ∧ (A ⊂ B ∧ x ∈ B)))) → z ∈ B)
33	32	exp45 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ A → (z ∈ (span ‘{C}) → (x = (y +v z) → ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) → z ∈ B))))
34	33	imp41 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) ∧ x = (y +v z)) ∧ (A ⊂ B ∧ x ∈ B)) → z ∈ B)
35	34	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) ∧ x = (y +v z)) ∧ ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) ∧ ¬ x ∈ A)) → z ∈ B)
36		spansneleq 5475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ z = 0v) → (z ∈ (span ‘{C}) → (span ‘{z}) = (span ‘{C})))
37	3, 36	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ z = 0v → (z ∈ (span ‘{C}) → (span ‘{z}) = (span ‘{C})))
38	37	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ z = 0v ∧ z ∈ (span ‘{C})) → (span ‘{z}) = (span ‘{C}))
39	38	sseq1d 1527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((¬ z = 0v ∧ z ∈ (span ‘{C})) → ((span ‘{z}) ⊆ B ↔ (span ‘{C}) ⊆ B))
40		spansnsst 5476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((B ∈ Sℋ ∧ z ∈ B) → (span ‘{z}) ⊆ B)
41	19, 40	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (z ∈ B → (span ‘{z}) ⊆ B)
42	39, 41	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((¬ z = 0v ∧ z ∈ (span ‘{C})) → (z ∈ B → (span ‘{C}) ⊆ B))
43	42	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((z ∈ (span ‘{C}) ∧ ¬ z = 0v) → (z ∈ B → (span ‘{C}) ⊆ B))
44		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (z = 0v → (y +v z) = (y +v 0v))
45		ax-hvaddid 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (y ∈ ℋ → (y +v 0v) = y)
46	15, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y ∈ A → (y +v 0v) = y)
47	44, 46	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((y ∈ A ∧ z = 0v) → (y +v z) = y)
48	47	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((y ∈ A ∧ z = 0v) → (x = (y +v z) ↔ x = y))
49		eleq1a 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (y ∈ A → (x = y → x ∈ A))
50	49	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((y ∈ A ∧ z = 0v) → (x = y → x ∈ A))
51	48, 50	sylbid 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((y ∈ A ∧ z = 0v) → (x = (y +v z) → x ∈ A))
52	51	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (y ∈ A → (z = 0v → (x = (y +v z) → x ∈ A)))
53	52	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ∈ A → (x = (y +v z) → (z = 0v → x ∈ A)))
54	53	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((y ∈ A ∧ x = (y +v z)) → (z = 0v → x ∈ A))
55	54	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ A ∧ x = (y +v z)) → (¬ x ∈ A → ¬ z = 0v))
56	55	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((y ∈ A ∧ x = (y +v z)) ∧ ¬ x ∈ A) → ¬ z = 0v)
57	43, 56	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((z ∈ (span ‘{C}) ∧ ((y ∈ A ∧ x = (y +v z)) ∧ ¬ x ∈ A)) → (z ∈ B → (span ‘{C}) ⊆ B))
58	57	exp44 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (z ∈ (span ‘{C}) → (y ∈ A → (x = (y +v z) → (¬ x ∈ A → (z ∈ B → (span ‘{C}) ⊆ B)))))
59	58	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ A → (z ∈ (span ‘{C}) → (x = (y +v z) → (¬ x ∈ A → (z ∈ B → (span ‘{C}) ⊆ B)))))
60	59	imp41 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) ∧ x = (y +v z)) ∧ ¬ x ∈ A) → (z ∈ B → (span ‘{C}) ⊆ B))
61	60	adantrl 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) ∧ x = (y +v z)) ∧ ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) ∧ ¬ x ∈ A)) → (z ∈ B → (span ‘{C}) ⊆ B))
62	35, 61	mpd 46	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) ∧ x = (y +v z)) ∧ ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) ∧ ¬ x ∈ A)) → (span ‘{C}) ⊆ B)
63	62	exp43 301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ (span ‘{C})) → (x = (y +v z) → ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) → (¬ x ∈ A → (span ‘{C}) ⊆ B))))
64	63	r19.23aivv 1287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃y ∈ A ∃z ∈ (span ‘{C})x = (y +v z) → ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) → (¬ x ∈ A → (span ‘{C}) ⊆ B)))
65	13, 64	sylbi 174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ (A ∨ℋ (span ‘{C})) → ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) → (¬ x ∈ A → (span ‘{C}) ⊆ B)))
66	9, 65	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ x ∈ B) → ((A ⊂ B ∧ x ∈ B) → (¬ x ∈ A → (span ‘{C}) ⊆ B)))
67	66	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ x ∈ B) ∧ (A ⊂ B ∧ x ∈ B)) → (¬ x ∈ A → (span ‘{C}) ⊆ B))
68	67	anandirs 395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ A ⊂ B) ∧ x ∈ B) → (¬ x ∈ A → (span ‘{C}) ⊆ B))
69	68	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ A ⊂ B) → (x ∈ B → (¬ x ∈ A → (span ‘{C}) ⊆ B)))
70	69	imp3a 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ A ⊂ B) → ((x ∈ B ∧ ¬ x ∈ A) → (span ‘{C}) ⊆ B))
71	70	19.23adv 954	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ A ⊂ B) → (∃x(x ∈ B ∧ ¬ x ∈ A) → (span ‘{C}) ⊆ B))
72		pssnel 1752	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊂ B → ∃x(x ∈ B ∧ ¬ x ∈ A))
73	71, 72	syl5 22	. . . . . . 7 ⊢ ((B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) ∧ A ⊂ B) → (A ⊂ B → (span ‘{C}) ⊆ B))
74	73	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) → (A ⊂ B → (A ⊂ B → (span ‘{C}) ⊆ B)))
75	74	pm2.43d 59	. . . . 5 ⊢ (B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) → (A ⊂ B → (span ‘{C}) ⊆ B))
76	75	com12 13	. . . 4 ⊢ (A ⊂ B → (B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C})) → (span ‘{C}) ⊆ B))
77	76	imp 277	. . 3 ⊢ ((A ⊂ B ∧ B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C}))) → (span ‘{C}) ⊆ B)
78	6, 8, 77	sylanc 361	. 2 ⊢ ((A ⊂ B ∧ B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C}))) → (A ∨ℋ (span ‘{C})) ⊆ B)
79	1, 78	eqssd 1518	1 ⊢ ((A ⊂ B ∧ B ⊆ (A ∨ℋ (span ‘{C}))) → B = (A ∨ℋ (span ‘{C})))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  {csn 1808   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968   +_ℋ cph 4970  spancspn 4971   ∨_ℋ chj 4972

This theorem is referenced by:  spansncvt 5543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-span 5276  df-chj 5277

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