Theorem spansnj 5539

Description: The subspace sum of a closed subspace and a one-dimensional subspace equals their join. (Proof suggested by Eric Schechter 1-Jun-04.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansnj.1	⊢ A ∈ Cℋ
spansnj.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansnj	⊢ (A +ℋ (span ‘{B})) = (A ∨ℋ (span ‘{B}))

Proof of Theorem spansnj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnj.1	. . . 4 ⊢ A ∈ Cℋ
2	1	chshi 5132	. . 3 ⊢ A ∈ Sℋ
3		spansnj.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℋ
4	3	spansnch 5467	. . . 4 ⊢ (span ‘{B}) ∈ Cℋ
5	4	chshi 5132	. . 3 ⊢ (span ‘{B}) ∈ Sℋ
6	2, 5	shjshs 5412	. 2 ⊢ (A ∨ℋ (span ‘{B})) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A +ℋ (span ‘{B}))))
7	1	chssi 5136	. . . . . . . 8 ⊢ A ⊆ ℋ
8	1	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ
9	8, 3	pjhcli 5258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B) ∈ ℋ
10		snssi 1851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B) ∈ ℋ → {((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)} ⊆ ℋ )
11	9, 10	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ {((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)} ⊆ ℋ
12	7, 11	spanun 5450	. . . . . . 7 ⊢ (span ‘(A ∪ {((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}))
13	1, 3	spanunsn 5482	. . . . . . 7 ⊢ (span ‘(A ∪ {B})) = (span ‘(A ∪ {((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}))
14		spanid 5318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ Sℋ → (span ‘A) = A)
15	2, 14	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ (span ‘A) = A
16	15	opreq1i 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((span ‘A) +ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) = (A +ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}))
17	7, 3	spansnpj 5481	. . . . . . . . 9 ⊢ A ⊆ (⊥ ‘(span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}))
18	9	spansnch 5467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}) ∈ Cℋ
19	1, 18	osum 5538	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) → (A +ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) = (A ∨ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})))
20	17, 19	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (A +ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) = (A ∨ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}))
21	16, 20	eqtr2 1120	. . . . . . 7 ⊢ (A ∨ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}))
22	12, 13, 21	3eqtr4r 1127	. . . . . 6 ⊢ (A ∨ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) = (span ‘(A ∪ {B}))
23		snssi 1851	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℋ → {B} ⊆ ℋ )
24	3, 23	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ {B} ⊆ ℋ
25	7, 24	spanun 5450	. . . . . 6 ⊢ (span ‘(A ∪ {B})) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘{B}))
26	22, 25	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (A ∨ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) = ((span ‘A) +ℋ (span ‘{B}))
27	15	opreq1i 3009	. . . . 5 ⊢ ((span ‘A) +ℋ (span ‘{B})) = (A +ℋ (span ‘{B}))
28	26, 27	eqtr2 1120	. . . 4 ⊢ (A +ℋ (span ‘{B})) = (A ∨ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)}))
29	1, 18	chjcl 5379	. . . 4 ⊢ (A ∨ℋ (span ‘{((Proj ‘(⊥ ‘A)) ‘B)})) ∈ Cℋ
30	28, 29	eqeltr 1159	. . 3 ⊢ (A +ℋ (span ‘{B})) ∈ Cℋ
31	30	ococ 5252	. 2 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘(A +ℋ (span ‘{B})))) = (A +ℋ (span ‘{B}))
32	6, 31	eqtr2 1120	1 ⊢ (A +ℋ (span ‘{B})) = (A ∨ℋ (span ‘{B}))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487  {csn 1808   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   +_ℋ cph 4970  spancspn 4971   ∨_ℋ chj 4972  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  spansnjt 5540  spansncv 5542

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-span 5276  df-chj 5277

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