Theorem sqabsadd 4847

Description: Square of absolute value of sum. Proposition 10-3.7(g) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
absval2.1	⊢ A ∈ ℂ
abssub.2	⊢ B ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqabsadd	⊢ ((abs ‘(A + B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))))

Proof of Theorem sqabsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℂ
2		abssub.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℂ
3	1, 2	cjadd 4818	. . . 4 ⊢ (∗ ‘(A + B)) = ((∗ ‘A) + (∗ ‘B))
4	3	opreq2i 3010	. . 3 ⊢ ((A + B) · (∗ ‘(A + B))) = ((A + B) · ((∗ ‘A) + (∗ ‘B)))
5	1	cjcl 4804	. . . 4 ⊢ (∗ ‘A) ∈ ℂ
6	2	cjcl 4804	. . . 4 ⊢ (∗ ‘B) ∈ ℂ
7	1, 2, 5, 6	muladd 4181	. . 3 ⊢ ((A + B) · ((∗ ‘A) + (∗ ‘B))) = (((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)) + ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B)))
8	4, 7	eqtr 1119	. 2 ⊢ ((A + B) · (∗ ‘(A + B))) = (((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)) + ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B)))
9	1, 2	addcl 4104	. . 3 ⊢ (A + B) ∈ ℂ
10	9	absvalsq 4837	. 2 ⊢ ((abs ‘(A + B))↑2) = ((A + B) · (∗ ‘(A + B)))
11	1	absvalsq 4837	. . . 4 ⊢ ((abs ‘A)↑2) = (A · (∗ ‘A))
12	2	absvalsq 4837	. . . . 5 ⊢ ((abs ‘B)↑2) = (B · (∗ ‘B))
13	2, 6	mulcom 4107	. . . . 5 ⊢ (B · (∗ ‘B)) = ((∗ ‘B) · B)
14	12, 13	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ ((abs ‘B)↑2) = ((∗ ‘B) · B)
15	11, 14	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ (((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) = ((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B))
16	1, 6	mulcl 4105	. . . . 5 ⊢ (A · (∗ ‘B)) ∈ ℂ
17	16	addcj 4828	. . . 4 ⊢ ((A · (∗ ‘B)) + (∗ ‘(A · (∗ ‘B)))) = (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))
18	1, 6	cjmul 4819	. . . . . 6 ⊢ (∗ ‘(A · (∗ ‘B))) = ((∗ ‘A) · (∗ ‘(∗ ‘B)))
19	2	cjcj 4808	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘(∗ ‘B)) = B
20	19	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((∗ ‘A) · (∗ ‘(∗ ‘B))) = ((∗ ‘A) · B)
21	18, 20	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (∗ ‘(A · (∗ ‘B))) = ((∗ ‘A) · B)
22	21	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((A · (∗ ‘B)) + (∗ ‘(A · (∗ ‘B)))) = ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B))
23	17, 22	eqtr3 1121	. . 3 ⊢ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) = ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B))
24	15, 23	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))) = (((A · (∗ ‘A)) + ((∗ ‘B) · B)) + ((A · (∗ ‘B)) + ((∗ ‘A) · B)))
25	8, 10, 24	3eqtr4 1126	1 ⊢ ((abs ‘(A + B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026   + caddc 4031   · cmulc 4032  2c2 4454  ↑cexp 4675  ℜcre 4786  ∗ccj 4788  abscabs 4789

This theorem is referenced by:  abstri 4859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793

metamath.org