Theorem sqgt0sr 4009

Description: The square of a nonzero signed real is positive.

Hypothesis

Ref	Expression
sqgt0sr.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → 0R <R (A ·R A)))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 3983	. . . 4 ⊢ 0R ∈ R
2		ltsosr 3997	. . . . 5 ⊢ <R Or R
3		sotrieq 2149	. . . . 5 ⊢ (( <R Or R ∧ (A ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (A = 0R ↔ ¬ (A <R 0R ∨ 0R <R A)))
4	2, 3	mpan 518	. . . 4 ⊢ ((A ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (A = 0R ↔ ¬ (A <R 0R ∨ 0R <R A)))
5	1, 4	mpan2 519	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (A = 0R ↔ ¬ (A <R 0R ∨ 0R <R A)))
6	5	bicon2d 404	. 2 ⊢ (A ∈ R → ((A <R 0R ∨ 0R <R A) ↔ ¬ A = 0R))
7		m1r 3985	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 3987	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (A ·R -1R) ∈ R)
9	7, 8	mpan2 519	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ R → (A ·R -1R) ∈ R)
10		sqgt0sr.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ V
11	1	elisseti 1355	. . . . . . . 8 ⊢ 0R ∈ V
12	10, 11	ltasr 4003	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·R -1R) ∈ R → (A <R 0R ↔ ((A ·R -1R) +R A) <R ((A ·R -1R) +R 0R)))
13	9, 12	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ R → (A <R 0R ↔ ((A ·R -1R) +R A) <R ((A ·R -1R) +R 0R)))
14		pn0sr 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ R → (A +R (A ·R -1R)) = 0R)
15		oprex 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ·R -1R) ∈ V
16	15, 10	addcomsr 3990	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ·R -1R) +R A) = (A +R (A ·R -1R))
17	14, 16	syl5eq 1136	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ R → ((A ·R -1R) +R A) = 0R)
18		0idsr 4000	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ·R -1R) ∈ R → ((A ·R -1R) +R 0R) = (A ·R -1R))
19	9, 18	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ R → ((A ·R -1R) +R 0R) = (A ·R -1R))
20	17, 19	breq12d 2073	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ R → (((A ·R -1R) +R A) <R ((A ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (A ·R -1R)))
21	13, 20	bitrd 406	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → (A <R 0R ↔ 0R <R (A ·R -1R)))
22	15, 15	mulgt0sr 4008	. . . . . 6 ⊢ ((0R <R (A ·R -1R) ∧ 0R <R (A ·R -1R)) → 0R <R ((A ·R -1R) ·R (A ·R -1R)))
23	22	anidms 332	. . . . 5 ⊢ (0R <R (A ·R -1R) → 0R <R ((A ·R -1R) ·R (A ·R -1R)))
24	21, 23	syl6bi 187	. . . 4 ⊢ (A ∈ R → (A <R 0R → 0R <R ((A ·R -1R) ·R (A ·R -1R))))
25		mulclsr 3987	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ R ∧ A ∈ R) → (A ·R A) ∈ R)
26		1idsr 4001	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ·R A) ∈ R → ((A ·R A) ·R 1R) = (A ·R A))
27	25, 26	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ R ∧ A ∈ R) → ((A ·R A) ·R 1R) = (A ·R A))
28	27	anidms 332	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ R → ((A ·R A) ·R 1R) = (A ·R A))
29	7	elisseti 1355	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ V
30		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
31		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
32	30, 31	mulcomsr 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (x ·R y) = (y ·R x)
33		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ z ∈ V
34	31, 33	mulasssr 3993	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ·R y) ·R z) = (x ·R (y ·R z))
35	10, 29, 10, 32, 34, 29	caopr4 3078	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·R -1R) ·R (A ·R -1R)) = ((A ·R A) ·R (-1R ·R -1R))
36		m1m1sr 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R -1R) = 1R
37	36	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·R A) ·R (-1R ·R -1R)) = ((A ·R A) ·R 1R)
38	35, 37	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ ((A ·R -1R) ·R (A ·R -1R)) = ((A ·R A) ·R 1R)
39	28, 38	syl5eq 1136	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → ((A ·R -1R) ·R (A ·R -1R)) = (A ·R A))
40	39	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ (A ∈ R → (0R <R ((A ·R -1R) ·R (A ·R -1R)) ↔ 0R <R (A ·R A)))
41	24, 40	sylibd 177	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (A <R 0R → 0R <R (A ·R A)))
42	10, 10	mulgt0sr 4008	. . . . 5 ⊢ ((0R <R A ∧ 0R <R A) → 0R <R (A ·R A))
43	42	anidms 332	. . . 4 ⊢ (0R <R A → 0R <R (A ·R A))
44	43	a1i 7	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (0R <R A → 0R <R (A ·R A)))
45	41, 44	jaod 329	. 2 ⊢ (A ∈ R → ((A <R 0R ∨ 0R <R A) → 0R <R (A ·R A)))
46	6, 45	sylbird 180	1 ⊢ (A ∈ R → (¬ A = 0R → 0R <R (A ·R A)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   Or wor 2059  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  recexsr 4010  ssgt0sr 4011

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967

metamath.org