Theorem sqr0 4730

Description: Square root of zero.

Assertion

Ref	Expression
sqr0	⊢ (√ ‘0) = 0

Proof of Theorem sqr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax0re 4063	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	leid 4339	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
3		sqrval 4729	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0) → (√ ‘0) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)}, ℝ, < ))
4	1, 2, 3	mp2an 520	. 2 ⊢ (√ ‘0) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)}, ℝ, < )
5		axmulrcl 4069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (x · x) ∈ ℝ)
6	5	anidms 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ ℝ → (x · x) ∈ ℝ)
7	6, 1	jctir 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℝ → ((x · x) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
8		leltt 4278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x · x) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((x · x) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (x · x)))
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℝ → ((x · x) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (x · x)))
10		ltsqt 4376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℝ → (¬ x = 0 → 0 < (x · x)))
11	10	con1d 85	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℝ → (¬ 0 < (x · x) → x = 0))
12	9, 11	sylbid 178	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℝ → ((x · x) ≤ 0 → x = 0))
13	12	adantld 307	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → ((0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0) → x = 0))
14	13	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ (0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)) → x = 0)
15		0cn 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
16	15	mulzer1 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 0) = 0
17	1, 1	remulcl 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · 0) ∈ ℝ
18	17, 1	eqle 4304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · 0) = 0 → (0 · 0) ≤ 0)
19	16, 18	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 · 0) ≤ 0
20	2, 19	pm3.2i 234	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ (0 · 0) ≤ 0)
21	1, 20	pm3.2i 234	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 0 ∧ (0 · 0) ≤ 0))
22		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 0 → (x ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
23		breq2 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = 0 → (0 ≤ x ↔ 0 ≤ 0))
24		opreq12 3008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x = 0 ∧ x = 0) → (x · x) = (0 · 0))
25	24	anidms 332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = 0 → (x · x) = (0 · 0))
26	25	breq1d 2071	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = 0 → ((x · x) ≤ 0 ↔ (0 · 0) ≤ 0))
27	23, 26	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 0 → ((0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0) ↔ (0 ≤ 0 ∧ (0 · 0) ≤ 0)))
28	22, 27	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (x = 0 → ((x ∈ ℝ ∧ (0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 0 ∧ (0 · 0) ≤ 0))))
29	21, 28	mpbiri 169	. . . . . 6 ⊢ (x = 0 → (x ∈ ℝ ∧ (0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)))
30	14, 29	impbi 139	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ (0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)) ↔ x = 0)
31	30	biabi 1181	. . . 4 ⊢ {x∣(x ∈ ℝ ∧ (0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0))} = {x∣x = 0}
32		df-rab 1208	. . . 4 ⊢ {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)} = {x∣(x ∈ ℝ ∧ (0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0))}
33		df-sn 1811	. . . 4 ⊢ {0} = {x∣x = 0}
34	31, 32, 33	3eqtr4 1126	. . 3 ⊢ {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)} = {0}
35		supeq1 2155	. . 3 ⊢ ({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)} = {0} → sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)}, ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < ))
36	34, 35	ax-mp 6	. 2 ⊢ sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ 0)}, ℝ, < ) = sup({0}, ℝ, < )
37		ltso 4279	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
38	37	supsn 2168	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → sup({0}, ℝ, < ) = 0)
39	1, 38	ax-mp 6	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ, < ) = 0
40	4, 36, 39	3eqtr 1123	1 ⊢ (√ ‘0) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  {csn 1808   class class class wbr 2054  supcsup 2060   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028   · cmulc 4032   < clt 4033   ≤ cle 4092  √csqr 4727

This theorem is referenced by:  sqrth 4757  sqrcl 4758  sqrge0 4760  sqr00t 4770  normgt0t 5078  norm0 5079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-sqr 4728

metamath.org