Theorem sqr2irr 4782

Description: The square root of 2 is irrational.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irr	⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Proof of Theorem sqr2irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem3 4779	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))
2		sqr2irrlem5 4781	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) ↔ (x↑2) = (2 · (y↑2))))
3	2	bi2rexa 1230	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) ↔ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
4	1, 3	mtbir 167	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
5		nngt0t 4441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ℕ → 0 < y)
6	5	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ x ∈ ℤ) → 0 < y)
7		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		ltmuldivt 4406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
9	7, 8	mp3an1 639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
10		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
11		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ x ∈ ℤ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
13	6, 12	mpd 46	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ∧ x ∈ ℤ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
14	13	ancoms 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
15		2re 4470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		2pos 4479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
17	15, 16	sqrgt0i 4755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < (√ ‘2)
18		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → (0 < (√ ‘2) ↔ 0 < (x / y)))
19	17, 18	mpbii 168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < (x / y))
20	14, 19	syl5bir 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → (0 · y) < x))
21		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
22		mulzer2t 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℂ → (0 · y) = 0)
23	21, 22	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → (0 · y) = 0)
24	23	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
25	24	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
26	20, 25	sylibd 177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
27	26	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℤ → (y ∈ ℕ → ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < x)))
28	27	r19.23adv 1286	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
29	28	anc2li 250	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → (x ∈ ℤ ∧ 0 < x)))
30		elnnz 4572	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ ↔ (x ∈ ℤ ∧ 0 < x))
31	29, 30	syl6ibr 186	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → x ∈ ℕ))
32	31	impac 304	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)) → (x ∈ ℕ ∧ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)))
33	32	r19.22i2 1274	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
34	4, 33	mto 93	. . 3 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
35		elq 4629	. . 3 ⊢ ((√ ‘2) ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
36	34, 35	mtbir 167	. 2 ⊢ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ
37		df-nel 1193	. 2 ⊢ ((√ ‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ)
38	36, 37	mpbir 165	1 ⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∉ wnel 1191  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091  ℕcn 4093  ℤcz 4095  ℚcq 4096  2c2 4454  ↑cexp 4675  √csqr 4727

This theorem is referenced by:  nthruc 4784

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-nel 1193  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-q 4628  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728

metamath.org