Theorem sqr2irrlem1 4777

Description: Lemma for irrationality of square root of 2. Technical lemma used to simplify the main induction step.

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem1.1	⊢ A ∈ ℕ
sqr2irrlem1.2	⊢ B ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem1	⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < A ∧ (A / 2) ∈ ℕ) ∧ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2))))

Proof of Theorem sqr2irrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ B ∈ ℕ
2	1	nnre 4429	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℝ
3	2	sqrecl 4699	. . . . . . . 8 ⊢ (B↑2) ∈ ℝ
4	3	recn 4098	. . . . . . 7 ⊢ (B↑2) ∈ ℂ
5	4	mulid2 4115	. . . . . 6 ⊢ (1 · (B↑2)) = (B↑2)
6		ax1re 4064	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	ltplus1 4384	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < (1 + 1)
8		df-2 4462	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
9	7, 8	breqtrr 2082	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 2
10		2re 4470	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	1	nnsqcl 4717	. . . . . . . . 9 ⊢ (B↑2) ∈ ℕ
12	11	nngt0 4445	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (B↑2)
13	6, 10, 3, 12	ltmul1i 4393	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 · (B↑2)) < (2 · (B↑2)))
14	9, 13	mpbi 164	. . . . . 6 ⊢ (1 · (B↑2)) < (2 · (B↑2))
15	5, 14	eqbrtrr 2078	. . . . 5 ⊢ (B↑2) < (2 · (B↑2))
16		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B↑2) < (A↑2) ↔ (B↑2) < (2 · (B↑2))))
17	15, 16	mpbiri 169	. . . 4 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (B↑2) < (A↑2))
18		ax0re 4063	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
19	1	nngt0 4445	. . . . . 6 ⊢ 0 < B
20	18, 2, 19	ltlei 4303	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ B
21		sqr2irrlem1.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℕ
22	21	nnre 4429	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℝ
23	21	nngt0 4445	. . . . . 6 ⊢ 0 < A
24	18, 22, 23	ltlei 4303	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ A
25	2, 22	lt2sqe 4700	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ B ∧ 0 ≤ A) → (B < A ↔ (B↑2) < (A↑2)))
26	20, 24, 25	mp2an 520	. . . 4 ⊢ (B < A ↔ (B↑2) < (A↑2))
27	17, 26	sylibr 175	. . 3 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → B < A)
28	22	sqrecl 4699	. . . . . . 7 ⊢ (A↑2) ∈ ℝ
29	28	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ (A↑2) ∈ ℂ
30		2cn 4471	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
31		2pos 4479	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
32	10, 31	gt0ne0i 4345	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
33	29, 30, 4, 32	divmul 4218	. . . . 5 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) ↔ (2 · (B↑2)) = (A↑2))
34		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) → (((A↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (B↑2) ∈ ℕ))
35	11, 34	mpbiri 169	. . . . . 6 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) → ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)
36	21	nnesq 4720	. . . . . 6 ⊢ ((A / 2) ∈ ℕ ↔ ((A↑2) / 2) ∈ ℕ)
37	35, 36	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ (((A↑2) / 2) = (B↑2) → (A / 2) ∈ ℕ)
38	33, 37	sylbir 176	. . . 4 ⊢ ((2 · (B↑2)) = (A↑2) → (A / 2) ∈ ℕ)
39	38	cleqcoms 1104	. . 3 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (A / 2) ∈ ℕ)
40	27, 39	jca 236	. 2 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (B < A ∧ (A / 2) ∈ ℕ))
41	22, 10, 32	redivcl 4274	. . . . . . . . 9 ⊢ (A / 2) ∈ ℝ
42	41	sqrecl 4699	. . . . . . . 8 ⊢ ((A / 2)↑2) ∈ ℝ
43	10, 42	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((A / 2)↑2)) ∈ ℝ
44	43	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((A / 2)↑2)) ∈ ℂ
45	30, 44, 4, 32	mulcan 4207	. . . . 5 ⊢ ((2 · (2 · ((A / 2)↑2))) = (2 · (B↑2)) ↔ (2 · ((A / 2)↑2)) = (B↑2))
46	21	nncn 4430	. . . . . . . . . 10 ⊢ A ∈ ℂ
47	46, 30, 32	sqdiv 4689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A / 2)↑2) = ((A↑2) / (2↑2))
48	30	sqval 4685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = (2 · 2)
49	48	opreq2i 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A↑2) / (2↑2)) = ((A↑2) / (2 · 2))
50	47, 49	eqtr 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((A / 2)↑2) = ((A↑2) / (2 · 2))
51	50	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((A / 2)↑2)) = ((2 · 2) · ((A↑2) / (2 · 2)))
52	42	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ ((A / 2)↑2) ∈ ℂ
53	30, 30, 52	mulass 4109	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((A / 2)↑2)) = (2 · (2 · ((A / 2)↑2)))
54	30, 30	mulcl 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) ∈ ℂ
55	30, 30, 32, 32	muln0 4214	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) ≠ 0
56	54, 29, 55	divcan2 4224	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((A↑2) / (2 · 2))) = (A↑2)
57	51, 53, 56	3eqtr3 1124	. . . . . 6 ⊢ (2 · (2 · ((A / 2)↑2))) = (A↑2)
58	57	cleq1i 1108	. . . . 5 ⊢ ((2 · (2 · ((A / 2)↑2))) = (2 · (B↑2)) ↔ (A↑2) = (2 · (B↑2)))
59	45, 58	bitr3 153	. . . 4 ⊢ ((2 · ((A / 2)↑2)) = (B↑2) ↔ (A↑2) = (2 · (B↑2)))
60	59	biimpr 134	. . 3 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (2 · ((A / 2)↑2)) = (B↑2))
61	60	cleqcomd 1106	. 2 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2)))
62	40, 61	jca 236	1 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) → ((B < A ∧ (A / 2) ∈ ℕ) ∧ (B↑2) = (2 · ((A / 2)↑2))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  2c2 4454  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem2 4778

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org