Theorem sqr2irrlem3 4779

Description: Main theorem for irrationality of square root of 2. There are no natural numbers such that the square of one is twice the square of the other. Uses strong induction.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem3	⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem sqr2irrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → (x↑2) = (z↑2))
2	1	cleq1d 1109	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → ((x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ (z↑2) = (2 · (y↑2))))
3	2	negbid 463	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → (¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ¬ (z↑2) = (2 · (y↑2))))
4	3	biraldv 1219	. . . . . 6 ⊢ (x = z → (∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ∀y ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (y↑2))))
5		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = w → (y↑2) = (w↑2))
6	5	opreq2d 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = w → (2 · (y↑2)) = (2 · (w↑2)))
7	6	cleq2d 1112	. . . . . . . 8 ⊢ (y = w → ((z↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ (z↑2) = (2 · (w↑2))))
8	7	negbid 463	. . . . . . 7 ⊢ (y = w → (¬ (z↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))))
9	8	cbvralv 1333	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))
10	4, 9	syl6bb 414	. . . . 5 ⊢ (x = z → (∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))))
11		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = y → (z < x ↔ y < x))
12		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z = y → (z↑2) = (y↑2))
13	12	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z = y → ((z↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
14	13	negbid 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = y → (¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
15	14	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = y → (∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ ∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
16	11, 15	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = y → ((z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ↔ (y < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2)))))
17	16	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) → (y ∈ ℕ → (y < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2)))))
18	17	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ∧ y ∈ ℕ) → (y < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
19		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (w = (x / 2) → (w↑2) = ((x / 2)↑2))
20	19	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = (x / 2) → (2 · (w↑2)) = (2 · ((x / 2)↑2)))
21	20	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = (x / 2) → ((y↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
22	21	negbid 463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = (x / 2) → (¬ (y↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
23	22	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2)) → ((x / 2) ∈ ℕ → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
24	18, 23	syl6 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ∧ y ∈ ℕ) → (y < x → ((x / 2) ∈ ℕ → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2)))))
25	24	imp3a 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ∧ y ∈ ℕ) → ((y < x ∧ (x / 2) ∈ ℕ) → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
26		imnan 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y < x ∧ (x / 2) ∈ ℕ) → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))) ↔ ¬ ((y < x ∧ (x / 2) ∈ ℕ) ∧ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
27	25, 26	sylib 173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ∧ y ∈ ℕ) → ¬ ((y < x ∧ (x / 2) ∈ ℕ) ∧ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
28	27	adantll 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ ℕ ∧ ∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))) ∧ y ∈ ℕ) → ¬ ((y < x ∧ (x / 2) ∈ ℕ) ∧ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
29		sqr2irrlem2 4778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((x↑2) = (2 · (y↑2)) → ((y < x ∧ (x / 2) ∈ ℕ) ∧ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2)))))
30	29	adantlr 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ ℕ ∧ ∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))) ∧ y ∈ ℕ) → ((x↑2) = (2 · (y↑2)) → ((y < x ∧ (x / 2) ∈ ℕ) ∧ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2)))))
31	28, 30	mtod 95	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ ℕ ∧ ∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))) ∧ y ∈ ℕ) → ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
32	31	exp31 293	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) → (y ∈ ℕ → ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)))))
33	32	r19.21adv 1262	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) → ∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2))))
34	10, 33	indstr 4611	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℕ → ∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
35		ralnex 1209	. . . 4 ⊢ (∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ¬ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
36	34, 35	sylib 173	. . 3 ⊢ (x ∈ ℕ → ¬ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
37	36	rgen 1247	. 2 ⊢ ∀x ∈ ℕ ¬ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))
38		ralnex 1209	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℕ ¬ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
39	37, 38	mpbi 164	1 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091  ℕcn 4093  2c2 4454  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  sqr2irr 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org