Theorem sqr2irrlem4 4780

Description: Lemma for irrationality of square root of 2.

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem4.1	⊢ A ∈ ℕ
sqr2irrlem4.2	⊢ B ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem4	⊢ ((√ ‘2) = (A / B) ↔ (A↑2) = (2 · (B↑2)))

Proof of Theorem sqr2irrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem4.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℕ
2	1	nncn 4430	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℂ
3		sqr2irrlem4.2	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ ℕ
4	3	nncn 4430	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℂ
5	3	nnne0 4446	. . . . . . 7 ⊢ B ≠ 0
6	2, 4, 5	sqdiv 4689	. . . . . 6 ⊢ ((A / B)↑2) = ((A↑2) / (B↑2))
7	6	cleqcomi 1105	. . . . 5 ⊢ ((A↑2) / (B↑2)) = ((A / B)↑2)
8	3	nnsqcl 4717	. . . . . . 7 ⊢ (B↑2) ∈ ℕ
9	8	nncn 4430	. . . . . 6 ⊢ (B↑2) ∈ ℂ
10		2cn 4471	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
11	8	nnne0 4446	. . . . . 6 ⊢ (B↑2) ≠ 0
12	9, 10, 11	divcan4 4248	. . . . 5 ⊢ ((2 · (B↑2)) / (B↑2)) = 2
13	7, 12	cleq12i 1114	. . . 4 ⊢ (((A↑2) / (B↑2)) = ((2 · (B↑2)) / (B↑2)) ↔ ((A / B)↑2) = 2)
14	1	nnre 4429	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℝ
15	14	sqrecl 4699	. . . . . 6 ⊢ (A↑2) ∈ ℝ
16	15	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (A↑2) ∈ ℂ
17		2re 4470	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	8	nnre 4429	. . . . . . 7 ⊢ (B↑2) ∈ ℝ
19	17, 18	remulcl 4119	. . . . . 6 ⊢ (2 · (B↑2)) ∈ ℝ
20	19	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (2 · (B↑2)) ∈ ℂ
21	16, 20, 9, 11	div11 4252	. . . 4 ⊢ (((A↑2) / (B↑2)) = ((2 · (B↑2)) / (B↑2)) ↔ (A↑2) = (2 · (B↑2)))
22		cleqcom 1103	. . . 4 ⊢ (((A / B)↑2) = 2 ↔ 2 = ((A / B)↑2))
23	13, 21, 22	3bitr3 156	. . 3 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) ↔ 2 = ((A / B)↑2))
24		ax0re 4063	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		2pos 4479	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
26	24, 17, 25	ltlei 4303	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 2
27	3	nnre 4429	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℝ
28	14, 27, 5	redivcl 4274	. . . . 5 ⊢ (A / B) ∈ ℝ
29	28	sqege0 4704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((A / B)↑2)
30	28	sqrecl 4699	. . . . 5 ⊢ ((A / B)↑2) ∈ ℝ
31	17, 30	sqr11 4761	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 ≤ ((A / B)↑2)) → ((√ ‘2) = (√ ‘((A / B)↑2)) ↔ 2 = ((A / B)↑2)))
32	26, 29, 31	mp2an 520	. . 3 ⊢ ((√ ‘2) = (√ ‘((A / B)↑2)) ↔ 2 = ((A / B)↑2))
33	23, 32	bitr4 154	. 2 ⊢ ((A↑2) = (2 · (B↑2)) ↔ (√ ‘2) = (√ ‘((A / B)↑2)))
34	1	nngt0 4445	. . . . . 6 ⊢ 0 < A
35	3	nngt0 4445	. . . . . 6 ⊢ 0 < B
36	14, 27, 34, 35	divgt0i 4391	. . . . 5 ⊢ 0 < (A / B)
37	24, 28, 36	ltlei 4303	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (A / B)
38	28	sqrsqe 4774	. . . 4 ⊢ (0 ≤ (A / B) → (√ ‘((A / B)↑2)) = (A / B))
39	37, 38	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (√ ‘((A / B)↑2)) = (A / B)
40	39	cleq2i 1111	. 2 ⊢ ((√ ‘2) = (√ ‘((A / B)↑2)) ↔ (√ ‘2) = (A / B))
41	33, 40	bitr2 152	1 ⊢ ((√ ‘2) = (A / B) ↔ (A↑2) = (2 · (B↑2)))

Syntax hints:   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   · cmulc 4032   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  2c2 4454  ↑cexp 4675  √csqr 4727

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem5 4781

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728

metamath.org