Theorem sqrlem13 4743

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ A ∈ ℝ
sqrlem1.2	⊢ 0 < A
sqrlem9.3	⊢ B ∈ ℝ
sqrlem9.4	⊢ C ∈ ℝ
sqrlem9.5	⊢ 0 < B
sqrlem9.6	⊢ A < (B · B)
sqrlem9.7	⊢ C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
sqrlem12.8	⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem13	⊢ (B = sup(S, ℝ, < ) → ¬ C < B)

Distinct variable group(s):   x,A   x,S

Proof of Theorem sqrlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem9.4	. . 3 ⊢ C ∈ ℝ
2		sqrlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℝ
3		sqrlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < A
4		sqrlem9.3	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ ℝ
5		sqrlem9.5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < B
6		sqrlem9.6	. . . . . . . 8 ⊢ A < (B · B)
7		sqrlem9.7	. . . . . . . 8 ⊢ C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
8		sqrlem12.8	. . . . . . . 8 ⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}
9	2, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8	sqrlem12 4742	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ S → z < C)
10	2, 3, 8	sqrlem4 4734	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ S ↔ (z ∈ ℝ ∧ (0 ≤ z ∧ (z · z) ≤ A)))
11	10	pm3.26bd 259	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ S → z ∈ ℝ)
12		axlttri 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (z < C ↔ ¬ (z = C ∨ C < z)))
13	1, 12	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ℝ → (z < C ↔ ¬ (z = C ∨ C < z)))
14	11, 13	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ S → (z < C ↔ ¬ (z = C ∨ C < z)))
15	9, 14	mpbid 170	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ S → ¬ (z = C ∨ C < z))
16		ioran 254	. . . . . 6 ⊢ (¬ (z = C ∨ C < z) ↔ (¬ z = C ∧ ¬ C < z))
17	15, 16	sylib 173	. . . . 5 ⊢ (z ∈ S → (¬ z = C ∧ ¬ C < z))
18	17	pm3.27d 262	. . . 4 ⊢ (z ∈ S → ¬ C < z)
19	18	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀z ∈ S ¬ C < z
20		ltso 4279	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
21	2, 3, 8	sqrlem6 4736	. . . . 5 ⊢ (S ⊆ ℝ ∧ S ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y < x)
22		axsup 4088	. . . . 5 ⊢ ((S ⊆ ℝ ∧ S ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ S ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ S y < z)))
23	21, 22	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ S ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ S y < z))
24	20, 23	supnubi 2167	. . 3 ⊢ ((C ∈ ℝ ∧ ∀z ∈ S ¬ C < z) → ¬ C < sup(S, ℝ, < ))
25	1, 19, 24	mp2an 520	. 2 ⊢ ¬ C < sup(S, ℝ, < )
26		breq2 2066	. 2 ⊢ (B = sup(S, ℝ, < ) → (C < B ↔ C < sup(S, ℝ, < )))
27	25, 26	mtbiri 539	1 ⊢ (B = sup(S, ℝ, < ) → ¬ C < B)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  supcsup 2060  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091   ≤ cle 4092

This theorem is referenced by:  sqrlem14 4744

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

metamath.org