Theorem sqrlem20 4750

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ A ∈ ℝ
sqrlem1.2	⊢ 0 < A
sqrlem15.3	⊢ B ∈ ℝ
sqrlem15.4	⊢ 0 < B
sqrlem19.5	⊢ (B · B) < A
sqrlem20.6	⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem20	⊢ ¬ B = sup(S, ℝ, < )

Distinct variable group(s):   x,A   x,B   x,S

Proof of Theorem sqrlem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem15.3	. . 3 ⊢ B ∈ ℝ
2		sqrlem1.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℝ
3	1, 1	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (B · B) ∈ ℝ
4	2, 3	resubcl 4174	. . . 4 ⊢ (A − (B · B)) ∈ ℝ
5		ax1re 4064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	5, 5	readdcl 4118	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
7	6, 5	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) ∈ ℝ
8	7, 1	remulcl 4119	. . . 4 ⊢ (((1 + 1) + 1) · B) ∈ ℝ
9	7	recn 4098	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) ∈ ℂ
10	1	recn 4098	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℂ
11		lt01 4377	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
12	5, 5, 11, 11	addgt0i 4326	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 + 1)
13	6, 5, 12, 11	addgt0i 4326	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((1 + 1) + 1)
14	7, 13	gt0ne0i 4345	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) + 1) ≠ 0
15		sqrlem15.4	. . . . . 6 ⊢ 0 < B
16	1, 15	gt0ne0i 4345	. . . . 5 ⊢ B ≠ 0
17	9, 10, 14, 16	muln0 4214	. . . 4 ⊢ (((1 + 1) + 1) · B) ≠ 0
18	4, 8, 17	redivcl 4274	. . 3 ⊢ ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)) ∈ ℝ
19		sqrlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 < A
20		sqrlem19.5	. . . 4 ⊢ (B · B) < A
21	2, 19, 1, 15, 20	sqrlem19 4749	. . 3 ⊢ 0 < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B))
22	1, 18, 15, 21	posex 4422	. 2 ⊢ ∃w ∈ ℝ (0 < w ∧ (w < B ∧ w < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B))))
23		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (w = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → (w < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)) ↔ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B))))
24	23	imbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (w = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → ((w < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)) → ¬ B = sup(S, ℝ, < )) ↔ (if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)) → ¬ B = sup(S, ℝ, < ))))
25		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → (w ∈ ℝ ↔ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ))
26		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → (0 < w ↔ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1)))))
27		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → (w < B ↔ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B))
28	25, 26, 27	bi3and 636	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → ((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B) ↔ (if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∧ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B)))
29		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B / (1 + 1)) = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → ((B / (1 + 1)) ∈ ℝ ↔ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ))
30		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B / (1 + 1)) = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → (0 < (B / (1 + 1)) ↔ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1)))))
31		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B / (1 + 1)) = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → ((B / (1 + 1)) < B ↔ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B))
32	29, 30, 31	bi3and 636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B / (1 + 1)) = if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) → (((B / (1 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (B / (1 + 1)) ∧ (B / (1 + 1)) < B) ↔ (if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∧ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B)))
33	6, 12	gt0ne0i 4345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) ≠ 0
34	1, 6, 33	redivcl 4274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B / (1 + 1)) ∈ ℝ
35	1, 6, 15, 12	divgt0i 4391	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (B / (1 + 1))
36	1	halfpos 4421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 < B ↔ (B / (1 + 1)) < B)
37	15, 36	mpbi 164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B / (1 + 1)) < B
38	34, 35, 37	3pm3.2i 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B / (1 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (B / (1 + 1)) ∧ (B / (1 + 1)) < B)
39	28, 32, 38	elimhyp 1790	. . . . . . . 8 ⊢ (if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∧ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B)
40		3simp1 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∧ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B) → if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ
42		3simp2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∧ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B) → 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))))
43	39, 42	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1)))
44		3simp3 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 < if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) ∧ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B) → if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B)
45	39, 44	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < B
46		sqrlem20.6	. . . . . . 7 ⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}
47	2, 19, 1, 15, 41, 43, 45, 46	sqrlem18 4748	. . . . . 6 ⊢ (if((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B), w, (B / (1 + 1))) < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)) → ¬ B = sup(S, ℝ, < ))
48	24, 47	dedth 1784	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ 0 < w ∧ w < B) → (w < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)) → ¬ B = sup(S, ℝ, < )))
49	48	3exp 611	. . . 4 ⊢ (w ∈ ℝ → (0 < w → (w < B → (w < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)) → ¬ B = sup(S, ℝ, < )))))
50	49	imp4d 285	. . 3 ⊢ (w ∈ ℝ → ((0 < w ∧ (w < B ∧ w < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)))) → ¬ B = sup(S, ℝ, < )))
51	50	r19.23aiv 1284	. 2 ⊢ (∃w ∈ ℝ (0 < w ∧ (w < B ∧ w < ((A − (B · B)) / (((1 + 1) + 1) · B)))) → ¬ B = sup(S, ℝ, < ))
52	22, 51	ax-mp 6	1 ⊢ ¬ B = sup(S, ℝ, < )

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204  ifcif 1776   class class class wbr 2054  supcsup 2060  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   − cmin 4089   / cdiv 4091   ≤ cle 4092

This theorem is referenced by:  sqrlem22 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

metamath.org