Theorem sqrlem21 4751

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ A ∈ ℝ
sqrlem1.2	⊢ 0 < A
sqrlem21.3	⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}
sqrlem21.4	⊢ B = sup(S, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
sqrlem21	⊢ ¬ A < (B · B)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B   x,S

Proof of Theorem sqrlem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem21.4	. 2 ⊢ B = sup(S, ℝ, < )
2		cleq1 1107	. . . 4 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (B = sup(S, ℝ, < ) ↔ if(A < (B · B), B, (1 + A)) = sup(S, ℝ, < )))
3	2	negbid 463	. . 3 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (¬ B = sup(S, ℝ, < ) ↔ ¬ if(A < (B · B), B, (1 + A)) = sup(S, ℝ, < )))
4		sqrlem1.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
5		sqrlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 < A
6		sqrlem21.3	. . . . . 6 ⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}
7	4, 5, 6, 1	sqrlem7 4737	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℝ
8		ax1re 4064	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8, 4	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (1 + A) ∈ ℝ
10	7, 9	keepel 1796	. . . 4 ⊢ if(A < (B · B), B, (1 + A)) ∈ ℝ
11		id 9	. . . . . . . 8 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → B = if(A < (B · B), B, (1 + A)))
12		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (A / B) = (A / if(A < (B · B), B, (1 + A))))
13	11, 12	opreq12d 3014	. . . . . . 7 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (B + (A / B)) = (if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))))
14	13	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → ((B + (A / B)) / (1 + 1)) = ((if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))) / (1 + 1)))
15	14	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (((B + (A / B)) / (1 + 1)) ∈ ℝ ↔ ((if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))) / (1 + 1)) ∈ ℝ))
16		id 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)))
17		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (A / (1 + A)) = (A / if(A < (B · B), B, (1 + A))))
18	16, 17	opreq12d 3014	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → ((1 + A) + (A / (1 + A))) = (if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))))
19	18	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (((1 + A) + (A / (1 + A))) / (1 + 1)) = ((if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))) / (1 + 1)))
20	19	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → ((((1 + A) + (A / (1 + A))) / (1 + 1)) ∈ ℝ ↔ ((if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))) / (1 + 1)) ∈ ℝ))
21	4, 5, 6, 1	sqrlem8 4738	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < B
22	7, 21	gt0ne0i 4345	. . . . . . . 8 ⊢ B ≠ 0
23	4, 7, 22	redivcl 4274	. . . . . . 7 ⊢ (A / B) ∈ ℝ
24	7, 23	readdcl 4118	. . . . . 6 ⊢ (B + (A / B)) ∈ ℝ
25	8, 8	readdcl 4118	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
26		lt01 4377	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
27	8, 8, 26, 26	addgt0i 4326	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 + 1)
28	25, 27	gt0ne0i 4345	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) ≠ 0
29	24, 25, 28	redivcl 4274	. . . . 5 ⊢ ((B + (A / B)) / (1 + 1)) ∈ ℝ
30	8, 4, 26, 5	addgt0i 4326	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 + A)
31	9, 30	gt0ne0i 4345	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + A) ≠ 0
32	4, 9, 31	redivcl 4274	. . . . . . 7 ⊢ (A / (1 + A)) ∈ ℝ
33	9, 32	readdcl 4118	. . . . . 6 ⊢ ((1 + A) + (A / (1 + A))) ∈ ℝ
34	33, 25, 28	redivcl 4274	. . . . 5 ⊢ (((1 + A) + (A / (1 + A))) / (1 + 1)) ∈ ℝ
35	15, 20, 29, 34	keephyp 1794	. . . 4 ⊢ ((if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))) / (1 + 1)) ∈ ℝ
36		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (0 < B ↔ 0 < if(A < (B · B), B, (1 + A))))
37		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (0 < (1 + A) ↔ 0 < if(A < (B · B), B, (1 + A))))
38	36, 37, 21, 30	keephyp 1794	. . . 4 ⊢ 0 < if(A < (B · B), B, (1 + A))
39		opreq12 3008	. . . . . . 7 ⊢ ((B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) ∧ B = if(A < (B · B), B, (1 + A))) → (B · B) = (if(A < (B · B), B, (1 + A)) · if(A < (B · B), B, (1 + A))))
40	39	anidms 332	. . . . . 6 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (B · B) = (if(A < (B · B), B, (1 + A)) · if(A < (B · B), B, (1 + A))))
41	40	breq2d 2072	. . . . 5 ⊢ (B = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (A < (B · B) ↔ A < (if(A < (B · B), B, (1 + A)) · if(A < (B · B), B, (1 + A)))))
42		opreq12 3008	. . . . . . 7 ⊢ (((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) ∧ (1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A))) → ((1 + A) · (1 + A)) = (if(A < (B · B), B, (1 + A)) · if(A < (B · B), B, (1 + A))))
43	42	anidms 332	. . . . . 6 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → ((1 + A) · (1 + A)) = (if(A < (B · B), B, (1 + A)) · if(A < (B · B), B, (1 + A))))
44	43	breq2d 2072	. . . . 5 ⊢ ((1 + A) = if(A < (B · B), B, (1 + A)) → (A < ((1 + A) · (1 + A)) ↔ A < (if(A < (B · B), B, (1 + A)) · if(A < (B · B), B, (1 + A)))))
45	4, 5	sqrlem1 4731	. . . . 5 ⊢ A < ((1 + A) · (1 + A))
46	41, 44, 45	elimhyp 1790	. . . 4 ⊢ A < (if(A < (B · B), B, (1 + A)) · if(A < (B · B), B, (1 + A)))
47		cleqid 1102	. . . 4 ⊢ ((if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))) / (1 + 1)) = ((if(A < (B · B), B, (1 + A)) + (A / if(A < (B · B), B, (1 + A)))) / (1 + 1))
48	4, 5, 10, 35, 38, 46, 47, 6	sqrlem14 4744	. . 3 ⊢ ¬ if(A < (B · B), B, (1 + A)) = sup(S, ℝ, < )
49	3, 48	dedth 1784	. 2 ⊢ (A < (B · B) → ¬ B = sup(S, ℝ, < ))
50	1, 49	mt2 96	1 ⊢ ¬ A < (B · B)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  ifcif 1776   class class class wbr 2054  supcsup 2060  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091   ≤ cle 4092

This theorem is referenced by:  sqrlem23 4753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

metamath.org