Theorem sqrlem6 4736

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ A ∈ ℝ
sqrlem1.2	⊢ 0 < A
sqrlem4.3	⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem6	⊢ (S ⊆ ℝ ∧ S ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y < x)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,S,y

Proof of Theorem sqrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem4.3	. . 3 ⊢ S = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}
2		ssrab 1556	. . 3 ⊢ {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)} ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstr 1530	. 2 ⊢ S ⊆ ℝ
4		ax0re 4063	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5	4	leid 4339	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
6		0cn 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
7	6	mulzer1 4185	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
8		sqrlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℝ
9		sqrlem1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < A
10	4, 8, 9	ltlei 4303	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ A
11	7, 10	eqbrtr 2076	. . . . . . 7 ⊢ (0 · 0) ≤ A
12	5, 11	pm3.2i 234	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ (0 · 0) ≤ A)
13	4, 12	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 0 ∧ (0 · 0) ≤ A))
14	8, 9, 1	sqrlem4 4734	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ S ↔ (0 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 0 ∧ (0 · 0) ≤ A)))
15	13, 14	mpbir 165	. . . 4 ⊢ 0 ∈ S
16		n0i 1712	. . . 4 ⊢ (0 ∈ S → ¬ S = ∅)
17	15, 16	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ¬ S = ∅
18		df-ne 1192	. . 3 ⊢ (S ≠ ∅ ↔ ¬ S = ∅)
19	17, 18	mpbir 165	. 2 ⊢ S ≠ ∅
20		ax1re 4064	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
21	20, 8	readdcl 4118	. . 3 ⊢ (1 + A) ∈ ℝ
22	8, 9, 1	sqrlem4 4734	. . . . 5 ⊢ (y ∈ S ↔ (y ∈ ℝ ∧ (0 ≤ y ∧ (y · y) ≤ A)))
23		leloet 4284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (0 ≤ y ↔ (0 < y ∨ 0 = y)))
24	4, 23	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 ≤ y ↔ (0 < y ∨ 0 = y)))
25		breq2 2066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = if(y ∈ ℝ, y, 1) → (0 < y ↔ 0 < if(y ∈ ℝ, y, 1)))
26		opreq12 3008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y = if(y ∈ ℝ, y, 1) ∧ y = if(y ∈ ℝ, y, 1)) → (y · y) = (if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)))
27	26	anidms 332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = if(y ∈ ℝ, y, 1) → (y · y) = (if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)))
28	27	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = if(y ∈ ℝ, y, 1) → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) ↔ (if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)) < ((1 + A) · (1 + A))))
29		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = if(y ∈ ℝ, y, 1) → (y < (1 + A) ↔ if(y ∈ ℝ, y, 1) < (1 + A)))
30	28, 29	imbi12d 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = if(y ∈ ℝ, y, 1) → (((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) → y < (1 + A)) ↔ ((if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)) < ((1 + A) · (1 + A)) → if(y ∈ ℝ, y, 1) < (1 + A))))
31	25, 30	imbi12d 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = if(y ∈ ℝ, y, 1) → ((0 < y → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) → y < (1 + A))) ↔ (0 < if(y ∈ ℝ, y, 1) → ((if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)) < ((1 + A) · (1 + A)) → if(y ∈ ℝ, y, 1) < (1 + A)))))
32		lt01 4377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
33	20, 8, 32, 9	addgt0i 4326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 + A)
34	20	elimel 1793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if(y ∈ ℝ, y, 1) ∈ ℝ
35	34, 21	lt2sq 4414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ≤ if(y ∈ ℝ, y, 1) ∧ 0 ≤ (1 + A)) → (if(y ∈ ℝ, y, 1) < (1 + A) ↔ (if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)) < ((1 + A) · (1 + A))))
36	4, 34	ltle 4302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < if(y ∈ ℝ, y, 1) → 0 ≤ if(y ∈ ℝ, y, 1))
37	4, 21	ltle 4302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < (1 + A) → 0 ≤ (1 + A))
38	35, 36, 37	syl2an 349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 < if(y ∈ ℝ, y, 1) ∧ 0 < (1 + A)) → (if(y ∈ ℝ, y, 1) < (1 + A) ↔ (if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)) < ((1 + A) · (1 + A))))
39	33, 38	mpan2 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 < if(y ∈ ℝ, y, 1) → (if(y ∈ ℝ, y, 1) < (1 + A) ↔ (if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)) < ((1 + A) · (1 + A))))
40	39	biimprd 136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < if(y ∈ ℝ, y, 1) → ((if(y ∈ ℝ, y, 1) · if(y ∈ ℝ, y, 1)) < ((1 + A) · (1 + A)) → if(y ∈ ℝ, y, 1) < (1 + A)))
41	31, 40	dedth 1784	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 < y → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) → y < (1 + A))))
42		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = y → (0 < (1 + A) ↔ y < (1 + A)))
43	33, 42	mpbii 168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = y → y < (1 + A))
44	43	a1d 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = y → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) → y < (1 + A)))
45	44	a1i 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 = y → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) → y < (1 + A))))
46	41, 45	jaod 329	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → ((0 < y ∨ 0 = y) → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) → y < (1 + A))))
47	24, 46	sylbid 178	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 ≤ y → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) → y < (1 + A))))
48		axmulrcl 4069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (y · y) ∈ ℝ)
49	48	anidms 332	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → (y · y) ∈ ℝ)
50		leloet 4284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y · y) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((y · y) ≤ A ↔ ((y · y) < A ∨ (y · y) = A)))
51	8, 9	sqrlem1 4731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ A < ((1 + A) · (1 + A))
52	21, 21	remulcl 4119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + A) · (1 + A)) ∈ ℝ
53		axlttrn 4084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((y · y) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ ((1 + A) · (1 + A)) ∈ ℝ) → (((y · y) < A ∧ A < ((1 + A) · (1 + A))) → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
54	52, 53	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y · y) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (((y · y) < A ∧ A < ((1 + A) · (1 + A))) → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
55	51, 54	mpan2i 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y · y) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((y · y) < A → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
56		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y · y) = A → ((y · y) < ((1 + A) · (1 + A)) ↔ A < ((1 + A) · (1 + A))))
57	51, 56	mpbiri 169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y · y) = A → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A)))
58	57	a1i 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y · y) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((y · y) = A → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
59	55, 58	jaod 329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y · y) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (((y · y) < A ∨ (y · y) = A) → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
60	50, 59	sylbid 178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y · y) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((y · y) ≤ A → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
61	8, 60	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((y · y) ∈ ℝ → ((y · y) ≤ A → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
62	49, 61	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ → ((y · y) ≤ A → (y · y) < ((1 + A) · (1 + A))))
63	47, 62	syl5d 53	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 ≤ y → ((y · y) ≤ A → y < (1 + A))))
64	63	imp32 281	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ (0 ≤ y ∧ (y · y) ≤ A)) → y < (1 + A))
65	22, 64	sylbi 174	. . . 4 ⊢ (y ∈ S → y < (1 + A))
66	65	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀y ∈ S y < (1 + A)
67		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = (1 + A) → (y < x ↔ y < (1 + A)))
68	67	biraldv 1219	. . . 4 ⊢ (x = (1 + A) → (∀y ∈ S y < x ↔ ∀y ∈ S y < (1 + A)))
69	68	rcla4ev 1403	. . 3 ⊢ (((1 + A) ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ S y < (1 + A)) → ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y < x)
70	21, 66, 69	mp2an 520	. 2 ⊢ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y < x
71	3, 19, 70	3pm3.2i 603	1 ⊢ (S ⊆ ℝ ∧ S ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ S y < x)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ifcif 1776   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   ≤ cle 4092

This theorem is referenced by:  sqrlem7 4737  sqrlem8 4738  sqrlem13 4743  sqrlem18 4748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

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