Theorem sqrval 4729

Description: Value of square root function.

Assertion

Ref	Expression
sqrval	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) → (√ ‘A) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < ))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem sqrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2066	. . 3 ⊢ (w = A → (0 ≤ w ↔ 0 ≤ A))
2	1	elrab 1422	. 2 ⊢ (A ∈ {w ∈ ℝ∣0 ≤ w} ↔ (A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A))
3		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (y = A → ((x · x) ≤ y ↔ (x · x) ≤ A))
4	3	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (y = A → ((0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y) ↔ (0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)))
5	4	birabsdv 1344	. . . 4 ⊢ (y = A → {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)} = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)})
6		supeq1 2155	. . . 4 ⊢ ({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)} = {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)} → sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < ) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < ))
7	5, 6	syl 12	. . 3 ⊢ (y = A → sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < ) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < ))
8		df-sqr 4728	. . . 4 ⊢ √ = {⟨y, z⟩∣((y ∈ ℝ ∧ 0 ≤ y) ∧ z = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < ))}
9		breq2 2066	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (0 ≤ w ↔ 0 ≤ y))
10	9	elrab 1422	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {w ∈ ℝ∣0 ≤ w} ↔ (y ∈ ℝ ∧ 0 ≤ y))
11	10	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ {w ∈ ℝ∣0 ≤ w} ∧ z = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < )) ↔ ((y ∈ ℝ ∧ 0 ≤ y) ∧ z = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < )))
12	11	biopabi 2103	. . . 4 ⊢ {⟨y, z⟩∣(y ∈ {w ∈ ℝ∣0 ≤ w} ∧ z = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < ))} = {⟨y, z⟩∣((y ∈ ℝ ∧ 0 ≤ y) ∧ z = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < ))}
13	8, 12	eqtr4 1122	. . 3 ⊢ √ = {⟨y, z⟩∣(y ∈ {w ∈ ℝ∣0 ≤ w} ∧ z = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ y)}, ℝ, < ))}
14		ltso 4279	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
15	14	supex 2157	. . 3 ⊢ sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < ) ∈ V
16	7, 13, 15	fvopab4 2871	. 2 ⊢ (A ∈ {w ∈ ℝ∣0 ≤ w} → (√ ‘A) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < ))
17	2, 16	sylbir 176	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) → (√ ‘A) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ∧ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204   class class class wbr 2054  {copab 2055  supcsup 2060   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028   · cmulc 4032   < clt 4033   ≤ cle 4092  √csqr 4727

This theorem is referenced by:  sqr0 4730  sqrlem24 4754  sqrgt0i 4755  sqrlem26 4756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-enr 3960  df-nr 3961  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-r 4038  df-lt 4041  df-sqr 4728

metamath.org