Theorem ss2rab 1553

Description: Equivalence of restricted abstraction subclass and implication.

Assertion

Ref	Expression
ss2rab	⊢ ({x ∈ A∣φ} ⊆ {x ∈ A∣ψ} ↔ ∀x ∈ A (φ → ψ))

Proof of Theorem ss2rab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 1208	. . 3 ⊢ {x ∈ A∣φ} = {x∣(x ∈ A ∧ φ)}
2		df-rab 1208	. . 3 ⊢ {x ∈ A∣ψ} = {x∣(x ∈ A ∧ ψ)}
3	1, 2	sseq12i 1526	. 2 ⊢ ({x ∈ A∣φ} ⊆ {x ∈ A∣ψ} ↔ {x∣(x ∈ A ∧ φ)} ⊆ {x∣(x ∈ A ∧ ψ)})
4		ss2ab 1551	. 2 ⊢ ({x∣(x ∈ A ∧ φ)} ⊆ {x∣(x ∈ A ∧ ψ)} ↔ ∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ A ∧ ψ)))
5		df-ral 1205	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A (φ → ψ) ↔ ∀x(x ∈ A → (φ → ψ)))
6		imdistan 339	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A → (φ → ψ)) ↔ ((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ A ∧ ψ)))
7	6	bial 695	. . 3 ⊢ (∀x(x ∈ A → (φ → ψ)) ↔ ∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ A ∧ ψ)))
8	5, 7	bitr2 152	. 2 ⊢ (∀x((x ∈ A ∧ φ) → (x ∈ A ∧ ψ)) ↔ ∀x ∈ A (φ → ψ))
9	3, 4, 8	3bitr 155	1 ⊢ ({x ∈ A∣φ} ⊆ {x ∈ A∣ψ} ↔ ∀x ∈ A (φ → ψ))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  {cab 1090   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {crab 1204   ⊆ wss 1487

This theorem is referenced by:  ss2rabi 1554  rankr1id 3539  scottex 3541  ondomon 3662  uzwo3lem1 4614  uzwo3lem2 4615  occont 5168  hsupss 5310  spanss 5319  chpssat 5756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rab 1208  df-in 1491  df-ss 1492

metamath.org