Theorem ssdmres 2585

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (A ⊆ dom B ↔ dom (B ↾ A) = A)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 1492	. 2 ⊢ (A ⊆ dom B ↔ (A ∩ dom B) = A)
2		dmres 2584	. . 3 ⊢ dom (B ↾ A) = (A ∩ dom B)
3	2	cleq1i 1108	. 2 ⊢ (dom (B ↾ A) = A ↔ (A ∩ dom B) = A)
4	1, 3	bitr4 154	1 ⊢ (A ⊆ dom B ↔ dom (B ↾ A) = A)

Syntax hints:   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  dom cdm 2410   ↾ cres 2412

This theorem is referenced by:  dmresi 2600  fnssres 2734  fnresi 2737  fores 2794  sbthlem4 3352

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-dm 2428  df-res 2430

metamath.org