Theorem sseq1d 1527

Description: An equality deduction for the subclass relationship.

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (φ → A = B)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (φ → (A ⊆ C ↔ B ⊆ C))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (φ → A = B)
2		sseq1 1521	. 2 ⊢ (A = B → (A ⊆ C ↔ B ⊆ C))
3	1, 2	syl 12	1 ⊢ (φ → (A ⊆ C ↔ B ⊆ C))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ⊆ wss 1487

This theorem is referenced by:  sseq12d 1529  eqsstrd 1534  snssg 1850  ssiun2s 2020  treq 2047  funimass1 2712  feq1 2748  tfrlem8 2956  oaordi 3148  oaword2 3155  oawordeulem 3156  nnmordi 3188  ereq 3206  map0e 3266  sbthlem5 3353  inf3lema 3460  inf3lemd 3463  trcl 3489  r1val1 3502  rankr1 3518  scottex 3541  scott0 3542  scottexs 3543  scott0s 3544  karden 3551  fodomb 3615  cardaleph 3690  cfub 3703  cflecard 3707  cfle 3708  infmap2lem2 4952  ocsh 5164  hsupval2t 5301  chsupid 5312  chsupsn 5313  shlubt 5355  shmod 5364  chsscon3t 5417  chsscon2t 5419  spansncv 5542  pj3 5660  mdsymlem5 5780  sumdmd 5787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-in 1491  df-ss 1492

metamath.org