Theorem sseq2d 1528

Description: An equality deduction for the subclass relationship.

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (φ → A = B)

Assertion

Ref	Expression
sseq2d	⊢ (φ → (C ⊆ A ↔ C ⊆ B))

Proof of Theorem sseq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (φ → A = B)
2		sseq2 1522	. 2 ⊢ (A = B → (C ⊆ A ↔ C ⊆ B))
3	1, 2	syl 12	1 ⊢ (φ → (C ⊆ A ↔ C ⊆ B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ⊆ wss 1487

This theorem is referenced by:  sseq12d 1529  sseqtrd 1536  funimass2 2713  fnssres 2734  fco 2760  f1ores 2813  tz6.12-2 2845  isofrlem 2939  oaordi 3148  oawordeulem 3156  oaass 3163  oen0 3165  nnmordi 3188  pw2en 3348  sbthlem2 3350  sbth 3359  ssenen 3399  phplem3 3405  pssnn 3428  ssfi 3430  fiint 3445  trcl 3489  r1tr 3498  rankr1id 3539  kmlem5 3584  alephordlem2 3678  alephordi 3679  alephgeom 3687  cardaleph 3690  cardalephex 3691  cflim 3704  hsupunss 5314  spanss2 5315  orthin 5371  chsscon3t 5417  chsscon1t 5418  h1datomt 5484  pjoml5 5498  osumlem8 5537  spansncvt 5543  pjcjt2 5580  pjopytht 5662  stjt 5676  atcvat4 5775  mdsymlem2 5777  mdsymlem3 5778  mdsymlem8 5783  mdsym 5784

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-in 1491  df-ss 1492

metamath.org