Theorem sshjvalt 5321

Description: Value of join for subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
sshjvalt	⊢ ((A ⊆ ℋ ∧ B ⊆ ℋ ) → (A ∨ℋ B) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B))))

Proof of Theorem sshjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 2838	. . 3 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B))) ∈ V
2		uneq1 1605	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∪ y) = (A ∪ y))
3	2	fveq2d 2836	. . . 4 ⊢ (x = A → (⊥ ‘(x ∪ y)) = (⊥ ‘(A ∪ y)))
4	3	fveq2d 2836	. . 3 ⊢ (x = A → (⊥ ‘(⊥ ‘(x ∪ y))) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ y))))
5		uneq2 1606	. . . . 5 ⊢ (y = B → (A ∪ y) = (A ∪ B))
6	5	fveq2d 2836	. . . 4 ⊢ (y = B → (⊥ ‘(A ∪ y)) = (⊥ ‘(A ∪ B)))
7	6	fveq2d 2836	. . 3 ⊢ (y = B → (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ y))) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B))))
8		df-chj 5277	. . . 4 ⊢ ∨ℋ = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ⊆ ℋ ∧ y ⊆ ℋ ) ∧ z = (⊥ ‘(⊥ ‘(x ∪ y))))}
9		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
10	9	elpw 1801	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℘ ℋ ↔ x ⊆ ℋ )
11		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
12	11	elpw 1801	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℘ ℋ ↔ y ⊆ ℋ )
13	10, 12	anbi12i 369	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℘ ℋ ∧ y ∈ ℘ ℋ ) ↔ (x ⊆ ℋ ∧ y ⊆ ℋ ))
14	13	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ ℘ ℋ ∧ y ∈ ℘ ℋ ) ∧ z = (⊥ ‘(⊥ ‘(x ∪ y)))) ↔ ((x ⊆ ℋ ∧ y ⊆ ℋ ) ∧ z = (⊥ ‘(⊥ ‘(x ∪ y)))))
15	14	bioprabi 3027	. . . 4 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℘ ℋ ∧ y ∈ ℘ ℋ ) ∧ z = (⊥ ‘(⊥ ‘(x ∪ y))))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ⊆ ℋ ∧ y ⊆ ℋ ) ∧ z = (⊥ ‘(⊥ ‘(x ∪ y))))}
16	8, 15	eqtr4 1122	. . 3 ⊢ ∨ℋ = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℘ ℋ ∧ y ∈ ℘ ℋ ) ∧ z = (⊥ ‘(⊥ ‘(x ∪ y))))}
17	1, 4, 7, 16	oprabval2 3051	. 2 ⊢ ((A ∈ ℘ ℋ ∧ B ∈ ℘ ℋ ) → (A ∨ℋ B) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B))))
18		ax-hilex 4983	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
19		elpw2g 1803	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ V → (A ∈ ℘ ℋ ↔ A ⊆ ℋ ))
20	18, 19	ax-mp 6	. 2 ⊢ (A ∈ ℘ ℋ ↔ A ⊆ ℋ )
21		elpw2g 1803	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ V → (B ∈ ℘ ℋ ↔ B ⊆ ℋ ))
22	18, 21	ax-mp 6	. 2 ⊢ (B ∈ ℘ ℋ ↔ B ⊆ ℋ )
23	17, 20, 22	syl2anbr 351	1 ⊢ ((A ⊆ ℋ ∧ B ⊆ ℋ ) → (A ∨ℋ B) = (⊥ ‘(⊥ ‘(A ∪ B))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  {copab2 3002   ℋ chil 4958  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972

This theorem is referenced by:  shjvalt 5322  sshjclt 5328  sshhococ 5451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-chj 5277

metamath.org