Theorem ssiin 2024

Description: Subset theorem for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
ssiin	⊢ (C ⊆ ∩x ∈ A B ↔ ∀x ∈ A C ⊆ B)

Distinct variable group(s):   x,C   x,A

Proof of Theorem ssiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
2		eliin 1999	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ V → (y ∈ ∩x ∈ A B ↔ ∀x ∈ A y ∈ B))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∩x ∈ A B ↔ ∀x ∈ A y ∈ B)
4	3	imbi2i 160	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ C → y ∈ ∩x ∈ A B) ↔ (y ∈ C → ∀x ∈ A y ∈ B))
5		r19.21v 1260	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ A (y ∈ C → y ∈ B) ↔ (y ∈ C → ∀x ∈ A y ∈ B))
6	4, 5	bitr4 154	. . . 4 ⊢ ((y ∈ C → y ∈ ∩x ∈ A B) ↔ ∀x ∈ A (y ∈ C → y ∈ B))
7		df-ral 1205	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A (y ∈ C → y ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)))
8	6, 7	bitr 151	. . 3 ⊢ ((y ∈ C → y ∈ ∩x ∈ A B) ↔ ∀x(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)))
9	8	bial 695	. 2 ⊢ (∀y(y ∈ C → y ∈ ∩x ∈ A B) ↔ ∀y∀x(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)))
10		dfss2 1497	. 2 ⊢ (C ⊆ ∩x ∈ A B ↔ ∀y(y ∈ C → y ∈ ∩x ∈ A B))
11		dfss2 1497	. . . 4 ⊢ (C ⊆ B ↔ ∀y(y ∈ C → y ∈ B))
12	11	biral 1223	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A C ⊆ B ↔ ∀x ∈ A ∀y(y ∈ C → y ∈ B))
13		df-ral 1205	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∀y(y ∈ C → y ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀y(y ∈ C → y ∈ B)))
14		19.21v 942	. . . . 5 ⊢ (∀y(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)) ↔ (x ∈ A → ∀y(y ∈ C → y ∈ B)))
15	14	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀x∀y(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀y(y ∈ C → y ∈ B)))
16		alcom 715	. . . 4 ⊢ (∀x∀y(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)) ↔ ∀y∀x(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)))
17	15, 16	bitr3 153	. . 3 ⊢ (∀x(x ∈ A → ∀y(y ∈ C → y ∈ B)) ↔ ∀y∀x(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)))
18	12, 13, 17	3bitr 155	. 2 ⊢ (∀x ∈ A C ⊆ B ↔ ∀y∀x(x ∈ A → (y ∈ C → y ∈ B)))
19	9, 10, 18	3bitr4 158	1 ⊢ (C ⊆ ∩x ∈ A B ↔ ∀x ∈ A C ⊆ B)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127  ∀wal 672   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∩ciin 1995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iin 1997

metamath.org