Theorem ssiun 2018

Description: Subset implication for an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
ssiun	⊢ (∃x ∈ A C ⊆ B → C ⊆ ∪x ∈ A B)

Distinct variable group(s):   x,C

Proof of Theorem ssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1206	. 2 ⊢ (∃x ∈ A C ⊆ B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ C ⊆ B))
2		pm3.35 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ C ∧ (y ∈ C → y ∈ B)) → y ∈ B)
3	2	anim2i 270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ∧ (y ∈ C ∧ (y ∈ C → y ∈ B))) → (x ∈ A ∧ y ∈ B))
4	3	exp32 294	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ A → (y ∈ C → ((y ∈ C → y ∈ B) → (x ∈ A ∧ y ∈ B))))
5	4	com23 32	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → ((y ∈ C → y ∈ B) → (y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B))))
6	5	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ (y ∈ C → y ∈ B)) → (y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
7		ssel 1502	. . . . . 6 ⊢ (C ⊆ B → (y ∈ C → y ∈ B))
8	6, 7	sylan2 346	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ C ⊆ B) → (y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
9	8	19.22i 723	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ C ⊆ B) → ∃x(y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
10	9	19.21aiv 943	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ C ⊆ B) → ∀y∃x(y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
11		eliun 1998	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A B ↔ ∃x ∈ A y ∈ B)
12		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B))
13	11, 12	bitr2 152	. . . . . 6 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ y ∈ ∪x ∈ A B)
14	13	imbi2i 160	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ C → ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ (y ∈ C → y ∈ ∪x ∈ A B))
15	14	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀y(y ∈ C → ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ ∀y(y ∈ C → y ∈ ∪x ∈ A B))
16		19.37v 961	. . . . 5 ⊢ (∃x(y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ (y ∈ C → ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B)))
17	16	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀y∃x(y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ ∀y(y ∈ C → ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B)))
18		dfss2 1497	. . . 4 ⊢ (C ⊆ ∪x ∈ A B ↔ ∀y(y ∈ C → y ∈ ∪x ∈ A B))
19	15, 17, 18	3bitr4 158	. . 3 ⊢ (∀y∃x(y ∈ C → (x ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ C ⊆ ∪x ∈ A B)
20	10, 19	sylib 173	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ C ⊆ B) → C ⊆ ∪x ∈ A B)
21	1, 20	sylbi 174	1 ⊢ (∃x ∈ A C ⊆ B → C ⊆ ∪x ∈ A B)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∪ciun 1994

This theorem is referenced by:  iunss2 2021  iunpwss 2039  iunpw 2040  oen0 3165  trcl 3489  r1tr 3498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iun 1996

metamath.org