Theorem ssnn 3429

Description: A subset of a natural number is finite.

Assertion

Ref	Expression
ssnn	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ⊆ A) → ∃x ∈ ω B ≈ x)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem ssnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		andi 456	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ∧ (B ⊂ A ∨ B = A)) ↔ ((A ∈ ω ∧ B ⊂ A) ∨ (A ∈ ω ∧ B = A)))
2		pssnn 3428	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ⊂ A) → ∃x ∈ A B ≈ x)
3		elnn 2383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ A ∧ A ∈ ω) → x ∈ ω)
4	3	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ A → (A ∈ ω → x ∈ ω))
5	4	com12 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ω → (x ∈ A → x ∈ ω))
6	5	anim1d 432	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ω → ((x ∈ A ∧ B ≈ x) → (x ∈ ω ∧ B ≈ x)))
7	6	19.22dv 947	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ω → (∃x(x ∈ A ∧ B ≈ x) → ∃x(x ∈ ω ∧ B ≈ x)))
8		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ A B ≈ x ↔ ∃x(x ∈ A ∧ B ≈ x))
9		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ ω B ≈ x ↔ ∃x(x ∈ ω ∧ B ≈ x))
10	7, 8, 9	3imtr4g 426	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ω → (∃x ∈ A B ≈ x → ∃x ∈ ω B ≈ x))
11	10	adantr 306	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ⊂ A) → (∃x ∈ A B ≈ x → ∃x ∈ ω B ≈ x))
12	2, 11	mpd 46	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ⊂ A) → ∃x ∈ ω B ≈ x)
13		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (B = A → (B ∈ ω ↔ A ∈ ω))
14	13	biimparc 327	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B = A) → B ∈ ω)
15		enrefg 3294	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ω → B ≈ B)
16	15	ancli 244	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ω → (B ∈ ω ∧ B ≈ B))
17		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (x = B → (B ≈ x ↔ B ≈ B))
18	17	rcla4ev 1403	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ω ∧ B ≈ B) → ∃x ∈ ω B ≈ x)
19	14, 16, 18	3syl 21	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B = A) → ∃x ∈ ω B ≈ x)
20	12, 19	jaoi 275	. . 3 ⊢ (((A ∈ ω ∧ B ⊂ A) ∨ (A ∈ ω ∧ B = A)) → ∃x ∈ ω B ≈ x)
21	1, 20	sylbi 174	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ (B ⊂ A ∨ B = A)) → ∃x ∈ ω B ≈ x)
22		sspss 1569	. 2 ⊢ (B ⊆ A ↔ (B ⊂ A ∨ B = A))
23	21, 22	sylan2b 347	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ⊆ A) → ∃x ∈ ω B ≈ x)

Syntax hints:   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  ωcom 2372   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  ssfi 3430  isfinite2 3437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org