Theorem stadd 5687

Description: If the sum of 2 states is 2, then each state is 1.

Hypotheses

Ref	Expression
stle.1	⊢ A ∈ Cℋ
stle.2	⊢ B ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stadd	⊢ (S ∈ States → (((S ‘A) + (S ‘B)) = 2 → (S ‘A) = 1))

Proof of Theorem stadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddrcl 4067	. . . . . 6 ⊢ (((S ‘A) ∈ ℝ ∧ (S ‘B) ∈ ℝ) → ((S ‘A) + (S ‘B)) ∈ ℝ)
2		stle.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ Cℋ
3		stclt 5672	. . . . . . 7 ⊢ (S ∈ States → (A ∈ Cℋ → (S ‘A) ∈ ℝ))
4	2, 3	mpi 44	. . . . . 6 ⊢ (S ∈ States → (S ‘A) ∈ ℝ)
5		stle.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ Cℋ
6		stclt 5672	. . . . . . 7 ⊢ (S ∈ States → (B ∈ Cℋ → (S ‘B) ∈ ℝ))
7	5, 6	mpi 44	. . . . . 6 ⊢ (S ∈ States → (S ‘B) ∈ ℝ)
8	1, 4, 7	sylanc 361	. . . . 5 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) + (S ‘B)) ∈ ℝ)
9		2re 4470	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	8, 9	jctir 241	. . . 4 ⊢ (S ∈ States → (((S ‘A) + (S ‘B)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
11		ltnet 4282	. . . 4 ⊢ ((((S ‘A) + (S ‘B)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((S ‘A) + (S ‘B)) < 2 → ¬ ((S ‘A) + (S ‘B)) = 2))
12	10, 11	syl 12	. . 3 ⊢ (S ∈ States → (((S ‘A) + (S ‘B)) < 2 → ¬ ((S ‘A) + (S ‘B)) = 2))
13	12	con2d 83	. 2 ⊢ (S ∈ States → (((S ‘A) + (S ‘B)) = 2 → ¬ ((S ‘A) + (S ‘B)) < 2))
14		stle1t 5674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (S ∈ States → (B ∈ Cℋ → (S ‘B) ≤ 1))
15	5, 14	mpi 44	. . . . . . . . 9 ⊢ (S ∈ States → (S ‘B) ≤ 1)
16		leadd2t 4351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((S ‘B) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (S ‘A) ∈ ℝ) → ((S ‘B) ≤ 1 ↔ ((S ‘A) + (S ‘B)) ≤ ((S ‘A) + 1)))
17		ax1re 4064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	17	a1i 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (S ∈ States → 1 ∈ ℝ)
19	16, 7, 18, 4	syl3anc 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘B) ≤ 1 ↔ ((S ‘A) + (S ‘B)) ≤ ((S ‘A) + 1)))
20	15, 19	mpbid 170	. . . . . . . 8 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) + (S ‘B)) ≤ ((S ‘A) + 1))
21	20	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ States ∧ (S ‘A) < 1) → ((S ‘A) + (S ‘B)) ≤ ((S ‘A) + 1))
22		ltadd1t 4348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((S ‘A) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((S ‘A) < 1 ↔ ((S ‘A) + 1) < (1 + 1)))
23	22	biimpd 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((S ‘A) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((S ‘A) < 1 → ((S ‘A) + 1) < (1 + 1)))
24	23, 4, 18, 18	syl3anc 629	. . . . . . . 8 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) < 1 → ((S ‘A) + 1) < (1 + 1)))
25	24	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ States ∧ (S ‘A) < 1) → ((S ‘A) + 1) < (1 + 1))
26		lelttrt 4289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((S ‘A) + (S ‘B)) ∈ ℝ ∧ ((S ‘A) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → ((((S ‘A) + (S ‘B)) ≤ ((S ‘A) + 1) ∧ ((S ‘A) + 1) < (1 + 1)) → ((S ‘A) + (S ‘B)) < (1 + 1)))
27	4, 17	jctir 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
28		axaddrcl 4067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((S ‘A) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((S ‘A) + 1) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) + 1) ∈ ℝ)
30	17, 17	readdcl 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
31	30	a1i 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (S ∈ States → (1 + 1) ∈ ℝ)
32	26, 8, 29, 31	syl3anc 629	. . . . . . . 8 ⊢ (S ∈ States → ((((S ‘A) + (S ‘B)) ≤ ((S ‘A) + 1) ∧ ((S ‘A) + 1) < (1 + 1)) → ((S ‘A) + (S ‘B)) < (1 + 1)))
33	32	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ States ∧ (S ‘A) < 1) → ((((S ‘A) + (S ‘B)) ≤ ((S ‘A) + 1) ∧ ((S ‘A) + 1) < (1 + 1)) → ((S ‘A) + (S ‘B)) < (1 + 1)))
34	21, 25, 33	mp2and 526	. . . . . 6 ⊢ ((S ∈ States ∧ (S ‘A) < 1) → ((S ‘A) + (S ‘B)) < (1 + 1))
35		df-2 4462	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
36	35	cleqcomi 1105	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
37	34, 36	syl6breq 2093	. . . . 5 ⊢ ((S ∈ States ∧ (S ‘A) < 1) → ((S ‘A) + (S ‘B)) < 2)
38	37	exp 291	. . . 4 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) < 1 → ((S ‘A) + (S ‘B)) < 2))
39	38	con3d 87	. . 3 ⊢ (S ∈ States → (¬ ((S ‘A) + (S ‘B)) < 2 → ¬ (S ‘A) < 1))
40		stle1t 5674	. . . . . 6 ⊢ (S ∈ States → (A ∈ Cℋ → (S ‘A) ≤ 1))
41	2, 40	mpi 44	. . . . 5 ⊢ (S ∈ States → (S ‘A) ≤ 1)
42		leloet 4284	. . . . . 6 ⊢ (((S ‘A) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((S ‘A) ≤ 1 ↔ ((S ‘A) < 1 ∨ (S ‘A) = 1)))
43	27, 42	syl 12	. . . . 5 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) ≤ 1 ↔ ((S ‘A) < 1 ∨ (S ‘A) = 1)))
44	41, 43	mpbid 170	. . . 4 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘A) < 1 ∨ (S ‘A) = 1))
45	44	ord 202	. . 3 ⊢ (S ∈ States → (¬ (S ‘A) < 1 → (S ‘A) = 1))
46	39, 45	syld 27	. 2 ⊢ (S ∈ States → (¬ ((S ‘A) + (S ‘B)) < 2 → (S ‘A) = 1))
47	13, 46	syld 27	1 ⊢ (S ∈ States → (((S ‘A) + (S ‘B)) = 2 → (S ‘A) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  2c2 4454   C_ℋ cch 4968  Statescst 4979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-2 4462  df-sh 5114  df-ch 5127  df-st 5670

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