Theorem stcltr2 5708

Description: Property of a strong classical state.

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	⊢ (φ ↔ (S ∈ States ∧ ∀x ∈ Cℋ ∀y ∈ Cℋ (((S ‘x) = 1 → (S ‘y) = 1) → x ⊆ y)))
stcltr1.2	⊢ A ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stcltr2	⊢ (φ → ((S ‘A) = 1 → A = ℋ ))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,S,y

Proof of Theorem stcltr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltr1.1	. . . 4 ⊢ (φ ↔ (S ∈ States ∧ ∀x ∈ Cℋ ∀y ∈ Cℋ (((S ‘x) = 1 → (S ‘y) = 1) → x ⊆ y)))
2		helch 5151	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
3		stcltr1.2	. . . 4 ⊢ A ∈ Cℋ
4	1, 2, 3	stcltr1 5707	. . 3 ⊢ (φ → (((S ‘ ℋ ) = 1 → (S ‘A) = 1) → ℋ ⊆ A))
5		ax-1 3	. . 3 ⊢ ((S ‘A) = 1 → ((S ‘ ℋ ) = 1 → (S ‘A) = 1))
6	4, 5	syl5 22	. 2 ⊢ (φ → ((S ‘A) = 1 → ℋ ⊆ A))
7		eqss 1516	. . 3 ⊢ (A = ℋ ↔ (A ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ A))
8	3	chssi 5136	. . 3 ⊢ A ⊆ ℋ
9	7, 8	mpbiran 547	. 2 ⊢ (A = ℋ ↔ ℋ ⊆ A)
10	6, 9	syl6ibr 186	1 ⊢ (φ → ((S ‘A) = 1 → A = ℋ ))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487   ‘cfv 2422  1c1 4029   ℋ chil 4958   C_ℋ cch 4968  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  stcltrlem1 5709

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org