Theorem stge0t 5673

Description: The value of a state is nonnegative.

Assertion

Ref	Expression
stge0t	⊢ (S ∈ States → (A ∈ Cℋ → 0 ≤ (S ‘A)))

Proof of Theorem stge0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stelt 5671	. . . 4 ⊢ (S ∈ States ↔ ((S: Cℋ –→ℝ ∧ ∀x ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘x) ∧ (S ‘x) ≤ 1)) ∧ ((S ‘ ℋ ) = 1 ∧ ∀x ∈ Cℋ ∀y ∈ Cℋ (x ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(x ∨ℋ y)) = ((S ‘x) + (S ‘y))))))
2	1	pm3.26bd 259	. . 3 ⊢ (S ∈ States → (S: Cℋ –→ℝ ∧ ∀x ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘x) ∧ (S ‘x) ≤ 1)))
3	2	pm3.27d 262	. 2 ⊢ (S ∈ States → ∀x ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘x) ∧ (S ‘x) ≤ 1))
4		pm3.26 256	. . 3 ⊢ ((0 ≤ (S ‘x) ∧ (S ‘x) ≤ 1) → 0 ≤ (S ‘x))
5	4	r19.20si 1254	. 2 ⊢ (∀x ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘x) ∧ (S ‘x) ≤ 1) → ∀x ∈ Cℋ 0 ≤ (S ‘x))
6		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (x = A → (S ‘x) = (S ‘A))
7	6	breq2d 2072	. . 3 ⊢ (x = A → (0 ≤ (S ‘x) ↔ 0 ≤ (S ‘A)))
8	7	rcla4v 1402	. 2 ⊢ (∀x ∈ Cℋ 0 ≤ (S ‘x) → (A ∈ Cℋ → 0 ≤ (S ‘A)))
9	3, 5, 8	3syl 21	1 ⊢ (S ∈ States → (A ∈ Cℋ → 0 ≤ (S ‘A)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   ≤ cle 4092   ℋ chil 4958   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  stle0 5680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-sh 5114  df-ch 5127  df-st 5670

metamath.org