Theorem stjt 5676

Description: The value of a state on a join.

Assertion

Ref	Expression
stjt	⊢ (S ∈ States → (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ A ⊆ (⊥ ‘B)) → (S ‘(A ∨ℋ B)) = ((S ‘A) + (S ‘B))))

Proof of Theorem stjt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stelt 5671	. . . . 5 ⊢ (S ∈ States ↔ ((S: Cℋ –→ℝ ∧ ∀x ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘x) ∧ (S ‘x) ≤ 1)) ∧ ((S ‘ ℋ ) = 1 ∧ ∀x ∈ Cℋ ∀y ∈ Cℋ (x ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(x ∨ℋ y)) = ((S ‘x) + (S ‘y))))))
2	1	pm3.27bd 263	. . . 4 ⊢ (S ∈ States → ((S ‘ ℋ ) = 1 ∧ ∀x ∈ Cℋ ∀y ∈ Cℋ (x ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(x ∨ℋ y)) = ((S ‘x) + (S ‘y)))))
3	2	pm3.27d 262	. . 3 ⊢ (S ∈ States → ∀x ∈ Cℋ ∀y ∈ Cℋ (x ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(x ∨ℋ y)) = ((S ‘x) + (S ‘y))))
4		sseq1 1521	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ⊆ (⊥ ‘y) ↔ A ⊆ (⊥ ‘y)))
5		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (x ∨ℋ y) = (A ∨ℋ y))
6	5	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (S ‘(x ∨ℋ y)) = (S ‘(A ∨ℋ y)))
7		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (S ‘x) = (S ‘A))
8	7	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (x = A → ((S ‘x) + (S ‘y)) = ((S ‘A) + (S ‘y)))
9	6, 8	cleq12d 1115	. . . . 5 ⊢ (x = A → ((S ‘(x ∨ℋ y)) = ((S ‘x) + (S ‘y)) ↔ (S ‘(A ∨ℋ y)) = ((S ‘A) + (S ‘y))))
10	4, 9	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (x = A → ((x ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(x ∨ℋ y)) = ((S ‘x) + (S ‘y))) ↔ (A ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(A ∨ℋ y)) = ((S ‘A) + (S ‘y)))))
11		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (⊥ ‘y) = (⊥ ‘B))
12	11	sseq2d 1528	. . . . 5 ⊢ (y = B → (A ⊆ (⊥ ‘y) ↔ A ⊆ (⊥ ‘B)))
13		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → (A ∨ℋ y) = (A ∨ℋ B))
14	13	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (S ‘(A ∨ℋ y)) = (S ‘(A ∨ℋ B)))
15		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → (S ‘y) = (S ‘B))
16	15	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (y = B → ((S ‘A) + (S ‘y)) = ((S ‘A) + (S ‘B)))
17	14, 16	cleq12d 1115	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((S ‘(A ∨ℋ y)) = ((S ‘A) + (S ‘y)) ↔ (S ‘(A ∨ℋ B)) = ((S ‘A) + (S ‘B))))
18	12, 17	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (y = B → ((A ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(A ∨ℋ y)) = ((S ‘A) + (S ‘y))) ↔ (A ⊆ (⊥ ‘B) → (S ‘(A ∨ℋ B)) = ((S ‘A) + (S ‘B)))))
19	10, 18	rcla42v 1404	. . 3 ⊢ (∀x ∈ Cℋ ∀y ∈ Cℋ (x ⊆ (⊥ ‘y) → (S ‘(x ∨ℋ y)) = ((S ‘x) + (S ‘y))) → ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⊆ (⊥ ‘B) → (S ‘(A ∨ℋ B)) = ((S ‘A) + (S ‘B)))))
20	3, 19	syl 12	. 2 ⊢ (S ∈ States → ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⊆ (⊥ ‘B) → (S ‘(A ∨ℋ B)) = ((S ‘A) + (S ‘B)))))
21	20	imp3a 279	1 ⊢ (S ∈ States → (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ A ⊆ (⊥ ‘B)) → (S ‘(A ∨ℋ B)) = ((S ‘A) + (S ‘B))))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   ≤ cle 4092   ℋ chil 4958   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  sto1 5677  stle 5681  stji1 5683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-sh 5114  df-ch 5127  df-st 5670

metamath.org