Theorem strlem3a 5693

Description: Lemma for strong state theorem: the function S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state.

Hypothesis

Ref	Expression
strlem3a.1	⊢ S = {⟨x, y⟩∣(x ∈ Cℋ ∧ y = ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2))}

Assertion

Ref	Expression
strlem3a	⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → S ∈ States)

Distinct variable group(s):   x,u,y

Proof of Theorem strlem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhclt 5248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → ((Proj ‘x) ‘u) ∈ ℋ )
2	1	adantrr 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → ((Proj ‘x) ‘u) ∈ ℋ )
3		normclt 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Proj ‘x) ‘u) ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘x) ‘u)) ∈ ℝ)
4		sqreclt 4697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u)) ∈ ℝ → ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	3syl 21	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2) ∈ ℝ)
6	5	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2) ∈ ℝ))
7	6	com12 13	. . . . . 6 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (x ∈ Cℋ → ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2) ∈ ℝ))
8	7	r19.21aiv 1259	. . . . 5 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → ∀x ∈ Cℋ ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2) ∈ ℝ)
9		strlem3a.1	. . . . . 6 ⊢ S = {⟨x, y⟩∣(x ∈ Cℋ ∧ y = ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2))}
10	9	fopab2 2891	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ Cℋ ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2) ∈ ℝ ↔ S: Cℋ –→ℝ)
11	8, 10	sylib 173	. . . 4 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → S: Cℋ –→ℝ)
12		pjhclt 5248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → ((Proj ‘z) ‘u) ∈ ℋ )
13	12	adantrr 312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → ((Proj ‘z) ‘u) ∈ ℋ )
14		normclt 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Proj ‘z) ‘u) ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ∈ ℝ)
15		sqege0t 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ∈ ℝ → 0 ≤ ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2))
16	13, 14, 15	3syl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → 0 ≤ ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2))
17	9	strlem2 5692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ Cℋ → (S ‘z) = ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2))
18	17	adantr 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (S ‘z) = ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2))
19	16, 18	breqtrrd 2083	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → 0 ≤ (S ‘z))
20		pjnormt 5666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ≤ (norm ‘u))
21	20	adantrr 312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ≤ (norm ‘u))
22		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (norm ‘u) = 1)
23	22	adantl 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (norm ‘u) = 1)
24	21, 23	breqtrd 2081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ≤ 1)
25		le2sqet 4707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ∧ 0 ≤ 1) → ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ≤ 1 ↔ ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) ≤ (1↑2))))
26	13, 14	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ∈ ℝ)
27		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
28	26, 27	jctir 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
29		normge0t 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Proj ‘z) ‘u) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)))
30	13, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)))
31		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
32		lt01 4377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
33	31, 27, 32	ltlei 4303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
34	30, 33	jctir 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (0 ≤ (norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ∧ 0 ≤ 1))
35	25, 28, 34	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u)) ≤ 1 ↔ ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) ≤ (1↑2)))
36	24, 35	mpbid 170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) ≤ (1↑2))
37		sq1 4709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
38	36, 37	syl6breq 2093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → ((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) ≤ 1)
39	18, 38	eqbrtrd 2077	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (S ‘z) ≤ 1)
40	19, 39	jca 236	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ (u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1)) → (0 ≤ (S ‘z) ∧ (S ‘z) ≤ 1))
41	40	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ Cℋ → ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (0 ≤ (S ‘z) ∧ (S ‘z) ≤ 1)))
42	41	com12 13	. . . . 5 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (z ∈ Cℋ → (0 ≤ (S ‘z) ∧ (S ‘z) ≤ 1)))
43	42	r19.21aiv 1259	. . . 4 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → ∀z ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘z) ∧ (S ‘z) ≤ 1))
44	11, 43	jca 236	. . 3 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (S: Cℋ –→ℝ ∧ ∀z ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘z) ∧ (S ‘z) ≤ 1)))
45		pjch1t 5560	. . . . . . . 8 ⊢ (u ∈ ℋ → ((Proj ‘ ℋ ) ‘u) = u)
46	45	fveq2d 2836	. . . . . . 7 ⊢ (u ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘ ℋ ) ‘u)) = (norm ‘u))
47	46	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (u ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘ ℋ ) ‘u))↑2) = ((norm ‘u)↑2))
48		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘u) = 1 → ((norm ‘u)↑2) = (1↑2))
49	48, 37	syl6eq 1140	. . . . . 6 ⊢ ((norm ‘u) = 1 → ((norm ‘u)↑2) = 1)
50	47, 49	sylan9eq 1144	. . . . 5 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → ((norm ‘((Proj ‘ ℋ ) ‘u))↑2) = 1)
51		helch 5151	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
52	9	strlem2 5692	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (S ‘ ℋ ) = ((norm ‘((Proj ‘ ℋ ) ‘u))↑2))
53	51, 52	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (S ‘ ℋ ) = ((norm ‘((Proj ‘ ℋ ) ‘u))↑2)
54	50, 53	syl5eq 1136	. . . 4 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (S ‘ ℋ ) = 1)
55		pjcjt2 5580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → (z ⊆ (⊥ ‘w) → ((Proj ‘(z ∨ℋ w)) ‘u) = (((Proj ‘z) ‘u) +v ((Proj ‘w) ‘u))))
56	55	imp 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → ((Proj ‘(z ∨ℋ w)) ‘u) = (((Proj ‘z) ‘u) +v ((Proj ‘w) ‘u)))
57	56	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → (norm ‘((Proj ‘(z ∨ℋ w)) ‘u)) = (norm ‘(((Proj ‘z) ‘u) +v ((Proj ‘w) ‘u))))
58	57	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → ((norm ‘((Proj ‘(z ∨ℋ w)) ‘u))↑2) = ((norm ‘(((Proj ‘z) ‘u) +v ((Proj ‘w) ‘u)))↑2))
59		pjopytht 5662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → (z ⊆ (⊥ ‘w) → ((norm ‘(((Proj ‘z) ‘u) +v ((Proj ‘w) ‘u)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘w) ‘u))↑2))))
60	59	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → ((norm ‘(((Proj ‘z) ‘u) +v ((Proj ‘w) ‘u)))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘w) ‘u))↑2)))
61	58, 60	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → ((norm ‘((Proj ‘(z ∨ℋ w)) ‘u))↑2) = (((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘w) ‘u))↑2)))
62		chjclt 5330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ) → (z ∨ℋ w) ∈ Cℋ )
63	62	3adant3 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → (z ∨ℋ w) ∈ Cℋ )
64	63	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → (z ∨ℋ w) ∈ Cℋ )
65	9	strlem2 5692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∨ℋ w) ∈ Cℋ → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((norm ‘((Proj ‘(z ∨ℋ w)) ‘u))↑2))
66	64, 65	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((norm ‘((Proj ‘(z ∨ℋ w)) ‘u))↑2))
67		3simpa 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → (z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ))
68	67	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → (z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ))
69	9	strlem2 5692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ Cℋ → (S ‘w) = ((norm ‘((Proj ‘w) ‘u))↑2))
70	17, 69	opreqan12d 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ) → ((S ‘z) + (S ‘w)) = (((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘w) ‘u))↑2)))
71	68, 70	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → ((S ‘z) + (S ‘w)) = (((norm ‘((Proj ‘z) ‘u))↑2) + ((norm ‘((Proj ‘w) ‘u))↑2)))
72	61, 66, 71	3eqtr4d 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) ∧ z ⊆ (⊥ ‘w)) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w)))
73	72	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ Cℋ ∧ w ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w))))
74	73	3exp 611	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ Cℋ → (w ∈ Cℋ → (u ∈ ℋ → (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w))))))
75	74	com3r 35	. . . . . . 7 ⊢ (u ∈ ℋ → (z ∈ Cℋ → (w ∈ Cℋ → (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w))))))
76	75	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (z ∈ Cℋ → (w ∈ Cℋ → (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w))))))
77	76	r19.21adv 1262	. . . . 5 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → (z ∈ Cℋ → ∀w ∈ Cℋ (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w)))))
78	77	r19.21aiv 1259	. . . 4 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → ∀z ∈ Cℋ ∀w ∈ Cℋ (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w))))
79	54, 78	jca 236	. . 3 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → ((S ‘ ℋ ) = 1 ∧ ∀z ∈ Cℋ ∀w ∈ Cℋ (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w)))))
80	44, 79	jca 236	. 2 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → ((S: Cℋ –→ℝ ∧ ∀z ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘z) ∧ (S ‘z) ≤ 1)) ∧ ((S ‘ ℋ ) = 1 ∧ ∀z ∈ Cℋ ∀w ∈ Cℋ (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w))))))
81		stelt 5671	. 2 ⊢ (S ∈ States ↔ ((S: Cℋ –→ℝ ∧ ∀z ∈ Cℋ (0 ≤ (S ‘z) ∧ (S ‘z) ≤ 1)) ∧ ((S ‘ ℋ ) = 1 ∧ ∀z ∈ Cℋ ∀w ∈ Cℋ (z ⊆ (⊥ ‘w) → (S ‘(z ∨ℋ w)) = ((S ‘z) + (S ‘w))))))
82	80, 81	sylibr 175	1 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ (norm ‘u) = 1) → S ∈ States)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  {copab 2055  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  normcno 4964   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  Projcpj 4976  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  strlem3 5694

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-st 5670

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