Theorem strlem5 5696

Description: Lemma for strong state theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
strlem3.1	⊢ S = {⟨x, y⟩∣(x ∈ Cℋ ∧ y = ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2))}
strlem3.2	⊢ (φ ↔ (u ∈ (A ∖ B) ∧ (norm ‘u) = 1))
strlem3.3	⊢ A ∈ Cℋ
strlem3.4	⊢ B ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
strlem5	⊢ (φ → (S ‘B) < 1)

Distinct variable group(s):   φ,x   x,y,u   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem strlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strlem3.2	. 2 ⊢ (φ ↔ (u ∈ (A ∖ B) ∧ (norm ‘u) = 1))
2		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ ((norm ‘u) = 1 → ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < (norm ‘u) ↔ (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1))
3		eldif 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ (u ∈ (A ∖ B) ↔ (u ∈ A ∧ ¬ u ∈ B))
4		strlem3.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B ∈ Cℋ
5		pjnelt 5667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ u ∈ ℋ ) → (¬ u ∈ B ↔ (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < (norm ‘u)))
6	4, 5	mpan 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u ∈ ℋ → (¬ u ∈ B ↔ (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < (norm ‘u)))
7	6	biimpa 324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((u ∈ ℋ ∧ ¬ u ∈ B) → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < (norm ‘u))
8		strlem3.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ A ∈ Cℋ
9	8	chel 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u ∈ A → u ∈ ℋ )
10	7, 9	sylan 343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u ∈ A ∧ ¬ u ∈ B) → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < (norm ‘u))
11	3, 10	sylbi 174	. . . . . . . 8 ⊢ (u ∈ (A ∖ B) → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < (norm ‘u))
12	2, 11	syl5bi 183	. . . . . . 7 ⊢ ((norm ‘u) = 1 → (u ∈ (A ∖ B) → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1))
13	12	imp 277	. . . . . 6 ⊢ (((norm ‘u) = 1 ∧ u ∈ (A ∖ B)) → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1)
14	13	ancoms 334	. . . . 5 ⊢ ((u ∈ (A ∖ B) ∧ (norm ‘u) = 1) → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1)
15		eldifi 1591	. . . . . . 7 ⊢ (u ∈ (A ∖ B) → u ∈ A)
16		lt2sqet 4706	. . . . . . . 8 ⊢ (((norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) ∧ 0 ≤ 1) → ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1 ↔ ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u))↑2) < (1↑2))))
17	4	pjhcl 5256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u ∈ ℋ → ((Proj ‘B) ‘u) ∈ ℋ )
18		normclt 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Proj ‘B) ‘u) ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (u ∈ ℋ → (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) ∈ ℝ)
20		ax1re 4064	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
21	19, 20	jctir 241	. . . . . . . 8 ⊢ (u ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
22		normge0t 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Proj ‘B) ‘u) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)))
23	17, 22	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (u ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)))
24		ax0re 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		lt01 4377	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
26	24, 20, 25	ltlei 4303	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
27	23, 26	jctir 241	. . . . . . . 8 ⊢ (u ∈ ℋ → (0 ≤ (norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) ∧ 0 ≤ 1))
28	16, 21, 27	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ (u ∈ ℋ → ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1 ↔ ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u))↑2) < (1↑2)))
29	15, 9, 28	3syl 21	. . . . . 6 ⊢ (u ∈ (A ∖ B) → ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1 ↔ ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u))↑2) < (1↑2)))
30	29	adantr 306	. . . . 5 ⊢ ((u ∈ (A ∖ B) ∧ (norm ‘u) = 1) → ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u)) < 1 ↔ ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u))↑2) < (1↑2)))
31	14, 30	mpbid 170	. . . 4 ⊢ ((u ∈ (A ∖ B) ∧ (norm ‘u) = 1) → ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u))↑2) < (1↑2))
32		strlem3.1	. . . . . 6 ⊢ S = {⟨x, y⟩∣(x ∈ Cℋ ∧ y = ((norm ‘((Proj ‘x) ‘u))↑2))}
33	32	strlem2 5692	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Cℋ → (S ‘B) = ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u))↑2))
34	4, 33	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (S ‘B) = ((norm ‘((Proj ‘B) ‘u))↑2)
35	31, 34	syl5eqbr 2089	. . 3 ⊢ ((u ∈ (A ∖ B) ∧ (norm ‘u) = 1) → (S ‘B) < (1↑2))
36		sq1 4709	. . 3 ⊢ (1↑2) = 1
37	35, 36	syl6breq 2093	. 2 ⊢ ((u ∈ (A ∖ B) ∧ (norm ‘u) = 1) → (S ‘B) < 1)
38	1, 37	sylbi 174	1 ⊢ (φ → (S ‘B) < 1)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∖ cdif 1484   class class class wbr 2054  {copab 2055   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   < clt 4033   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958  normcno 4964   C_ℋ cch 4968  Projcpj 4976

This theorem is referenced by:  strlem6 5697

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244

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