Theorem subaddt 4145

Description: Relationship between subtraction and addition.

Assertion

Ref	Expression
subaddt	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A − B) = C ↔ (B + C) = A))

Proof of Theorem subaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → (A − B) = (if(A ∈ ℂ, A, 0) − B))
2	1	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → ((A − B) = C ↔ (if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) = C))
3		cleq2 1110	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → ((B + C) = A ↔ (B + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0)))
4	2, 3	bibi12d 477	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → (((A − B) = C ↔ (B + C) = A) ↔ ((if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) = C ↔ (B + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0))))
5		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → (if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) = (if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)))
6	5	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → ((if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) = C ↔ (if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) = C))
7		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → (B + C) = (if(B ∈ ℂ, B, 0) + C))
8	7	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → ((B + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0) ↔ (if(B ∈ ℂ, B, 0) + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0)))
9	6, 8	bibi12d 477	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → (((if(A ∈ ℂ, A, 0) − B) = C ↔ (B + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0)) ↔ ((if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) = C ↔ (if(B ∈ ℂ, B, 0) + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0))))
10		cleq2 1110	. . 3 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 0) → ((if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) = C ↔ (if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) = if(C ∈ ℂ, C, 0)))
11		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 0) → (if(B ∈ ℂ, B, 0) + C) = (if(B ∈ ℂ, B, 0) + if(C ∈ ℂ, C, 0)))
12	11	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 0) → ((if(B ∈ ℂ, B, 0) + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0) ↔ (if(B ∈ ℂ, B, 0) + if(C ∈ ℂ, C, 0)) = if(A ∈ ℂ, A, 0)))
13	10, 12	bibi12d 477	. 2 ⊢ (C = if(C ∈ ℂ, C, 0) → (((if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) = C ↔ (if(B ∈ ℂ, B, 0) + C) = if(A ∈ ℂ, A, 0)) ↔ ((if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) = if(C ∈ ℂ, C, 0) ↔ (if(B ∈ ℂ, B, 0) + if(C ∈ ℂ, C, 0)) = if(A ∈ ℂ, A, 0))))
14		0cn 4100	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
15	14	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℂ, A, 0) ∈ ℂ
16	14	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℂ, B, 0) ∈ ℂ
17	14	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(C ∈ ℂ, C, 0) ∈ ℂ
18	15, 16, 17	subadd 4143	. 2 ⊢ ((if(A ∈ ℂ, A, 0) − if(B ∈ ℂ, B, 0)) = if(C ∈ ℂ, C, 0) ↔ (if(B ∈ ℂ, B, 0) + if(C ∈ ℂ, C, 0)) = if(A ∈ ℂ, A, 0))
19	4, 9, 13, 18	dedth3h 1788	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A − B) = C ↔ (B + C) = A))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   + caddc 4031   − cmin 4089

This theorem is referenced by:  renegcl 4171  nn0ennn 4925  sto2 5678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133

metamath.org