Theorem sucexb 2301

Description: A successor exists iff its class argument exists.

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (A ∈ V ↔ suc A ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 1950	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ {A} ∈ V) ↔ (A ∪ {A}) ∈ V)
2		snex 1859	. . 3 ⊢ {A} ∈ V
3	2	biantru 543	. 2 ⊢ (A ∈ V ↔ (A ∈ V ∧ {A} ∈ V))
4		df-suc 2205	. . 3 ⊢ suc A = (A ∪ {A})
5	4	eleq1i 1152	. 2 ⊢ (suc A ∈ V ↔ (A ∪ {A}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4 158	1 ⊢ (A ∈ V ↔ suc A ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485  {csn 1808  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  sucexg 2302  sucelon 2319  ordsucelsuc 2324  suc11reg 3456  r1ord 3499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-uni 1920  df-suc 2205

metamath.org