Theorem sumdmd 5787

Description: The subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed iff the elements are a dual modular pair. Theorem 2 of [Holland] p. 1519.

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ A ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ B ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmd	⊢ ((A +ℋ B) = (A ∨ℋ B) ↔ (⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B))

Proof of Theorem sumdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . 3 ⊢ A ∈ Cℋ
2		sumdmdi.2	. . 3 ⊢ B ∈ Cℋ
3	1, 2	sumdmdi 5785	. 2 ⊢ ((A +ℋ B) = (A ∨ℋ B) → (⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B))
4		spansnsht 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℋ → (span ‘{x}) ∈ Sℋ )
5	2	chshi 5132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ B ∈ Sℋ
6		shsub2t 5290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((span ‘{x}) ∈ Sℋ ∧ B ∈ Sℋ ) → (span ‘{x}) ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})))
7	5, 6	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((span ‘{x}) ∈ Sℋ → (span ‘{x}) ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})))
8	4, 7	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℋ → (span ‘{x}) ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})))
9		spansnid 5468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℋ → x ∈ (span ‘{x}))
10	8, 9	sseldd 1507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℋ → x ∈ (B +ℋ (span ‘{x})))
11	10	ad2antrl 322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ (x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B))) → x ∈ (B +ℋ (span ‘{x})))
12		shsub1t 5289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((B ∈ Sℋ ∧ (span ‘{x}) ∈ Sℋ ) → B ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})))
13	5, 12	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((span ‘{x}) ∈ Sℋ → B ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})))
14	4, 13	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ℋ → B ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})))
15		spansnsclt 5541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ x ∈ ℋ ) → (B +ℋ (span ‘{x})) ∈ Cℋ )
16	2, 15	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x ∈ ℋ → (B +ℋ (span ‘{x})) ∈ Cℋ )
17		dmdi 5732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ∧ (B +ℋ (span ‘{x})) ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (B ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)))))
18	1, 17	mp3an1 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ (B +ℋ (span ‘{x})) ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (B ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)))))
19	2, 18	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((B +ℋ (span ‘{x})) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (B ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)))))
20	16, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ℋ → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (B ⊆ (B +ℋ (span ‘{x})) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)))))
21	14, 20	mpid 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x ∈ ℋ → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B))))
22	21	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (x ∈ ℋ → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B))))
23	22	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ x ∈ ℋ ) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)))
24	23	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ (x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B))) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)))
25	1	chshi 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ A ∈ Sℋ
26	5, 25	shsub2 5343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ B ⊆ (A +ℋ B)
27	1, 2	sumdmdlem 5786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B)) → ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) = (B ∩ A))
28	27	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B)) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = ((B ∩ A) ∨ℋ B))
29	2, 1	chincl 5382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (B ∩ A) ∈ Cℋ
30	29, 2	chjcom 5389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((B ∩ A) ∨ℋ B) = (B ∨ℋ (B ∩ A))
31	2, 1	chabs1 5434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (B ∨ℋ (B ∩ A)) = B
32	30, 31	eqtr 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((B ∩ A) ∨ℋ B) = B
33	28, 32	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B)) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) = B)
34	33	sseq1d 1527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B)) → ((((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) ⊆ (A +ℋ B) ↔ B ⊆ (A +ℋ B)))
35	26, 34	mpbiri 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B)) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) ⊆ (A +ℋ B))
36	35	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ (x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B))) → (((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ A) ∨ℋ B) ⊆ (A +ℋ B))
37	24, 36	eqsstr3d 1535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ (x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B))) → ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)) ⊆ (A +ℋ B))
38	37	sseld 1506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ (x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B))) → (x ∈ ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)) → x ∈ (A +ℋ B)))
39		elin 1635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ((B +ℋ (span ‘{x})) ∩ (A ∨ℋ B)) ↔ (x ∈ (B +ℋ (span ‘{x})) ∧ x ∈ (A ∨ℋ B)))
40	38, 39	syl5ibr 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ (x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B))) → ((x ∈ (B +ℋ (span ‘{x})) ∧ x ∈ (A ∨ℋ B)) → x ∈ (A +ℋ B)))
41	11, 40	mpand 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ∧ (x ∈ ℋ ∧ ¬ x ∈ (A +ℋ B))) → (x ∈ (A ∨ℋ B) → x ∈ (A +ℋ B)))
42	41	exp32 294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (x ∈ ℋ → (¬ x ∈ (A +ℋ B) → (x ∈ (A ∨ℋ B) → x ∈ (A +ℋ B)))))
43	42	com34 36	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (x ∈ ℋ → (x ∈ (A ∨ℋ B) → (¬ x ∈ (A +ℋ B) → x ∈ (A +ℋ B)))))
44		pm2.18 75	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ x ∈ (A +ℋ B) → x ∈ (A +ℋ B)) → x ∈ (A +ℋ B))
45	43, 44	syl8 25	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (x ∈ ℋ → (x ∈ (A ∨ℋ B) → x ∈ (A +ℋ B))))
46	1, 2	chjcl 5379	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∨ℋ B) ∈ Cℋ
47	46	chel 5137	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (A ∨ℋ B) → x ∈ ℋ )
48	45, 47	syl5 22	. . . . . 6 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (x ∈ (A ∨ℋ B) → (x ∈ (A ∨ℋ B) → x ∈ (A +ℋ B))))
49	48	pm2.43d 59	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (x ∈ (A ∨ℋ B) → x ∈ (A +ℋ B)))
50	49	ssrdv 1509	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (A ∨ℋ B) ⊆ (A +ℋ B))
51	1, 2	chslej 5380	. . . 4 ⊢ (A +ℋ B) ⊆ (A ∨ℋ B)
52	50, 51	jctil 240	. . 3 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → ((A +ℋ B) ⊆ (A ∨ℋ B) ∧ (A ∨ℋ B) ⊆ (A +ℋ B)))
53		eqss 1516	. . 3 ⊢ ((A +ℋ B) = (A ∨ℋ B) ↔ ((A +ℋ B) ⊆ (A ∨ℋ B) ∧ (A ∨ℋ B) ⊆ (A +ℋ B)))
54	52, 53	sylibr 175	. 2 ⊢ ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) → (A +ℋ B) = (A ∨ℋ B))
55	3, 54	impbi 139	1 ⊢ ((A +ℋ B) = (A ∨ℋ B) ↔ (⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  {csn 1808   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   +_ℋ cph 4970  spancspn 4971   ∨_ℋ chj 4972   M_ℋ cmd 4982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-span 5276  df-chj 5277  df-md 5713

metamath.org