Theorem sumdmdlem 5786

Description: Lemma for sumdmd 5787. The span of vector C not in the subspace sum is "trimmed off."

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ A ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ B ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A) = (B ∩ A))

Proof of Theorem sumdmdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnsht 5466	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∈ ℋ → (span ‘{C}) ∈ Sℋ )
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ B ∈ Cℋ
3	2	chshi 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ Sℋ
4		shselt 5280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ Sℋ ∧ (span ‘{C}) ∈ Sℋ ) → (y ∈ (B +ℋ (span ‘{C})) ↔ ∃z ∈ B ∃w ∈ (span ‘{C})y = (z +v w)))
5	3, 4	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ ((span ‘{C}) ∈ Sℋ → (y ∈ (B +ℋ (span ‘{C})) ↔ ∃z ∈ B ∃w ∈ (span ‘{C})y = (z +v w)))
6	1, 5	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (C ∈ ℋ → (y ∈ (B +ℋ (span ‘{C})) ↔ ∃z ∈ B ∃w ∈ (span ‘{C})y = (z +v w)))
7		hvsubaddt 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ∧ w ∈ ℋ ) → ((y −v z) = w ↔ (z +v w) = y))
8		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((z +v w) = y ↔ y = (z +v w))
9	7, 8	syl6bb 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ∧ w ∈ ℋ ) → ((y −v z) = w ↔ y = (z +v w)))
10		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ A ∈ Cℋ
11	10	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ∈ A → y ∈ ℋ )
12	2	chel 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (z ∈ B → z ∈ ℋ )
13		elspansnclt 5470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ w ∈ (span ‘{C})) → w ∈ ℋ )
14	9, 11, 12, 13	syl3an 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ B ∧ (C ∈ ℋ ∧ w ∈ (span ‘{C}))) → ((y −v z) = w ↔ y = (z +v w)))
15	14	3expa 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ (C ∈ ℋ ∧ w ∈ (span ‘{C}))) → ((y −v z) = w ↔ y = (z +v w)))
16		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((y −v z) = w → ((y −v z) ∈ (A +ℋ B) ↔ w ∈ (A +ℋ B)))
17	10	chshi 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ A ∈ Sℋ
18	17, 3	shsvs 5337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) → (y −v z) ∈ (A +ℋ B))
19	16, 18	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((y −v z) = w → ((y ∈ A ∧ z ∈ B) → w ∈ (A +ℋ B)))
20	19	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) → ((y −v z) = w → w ∈ (A +ℋ B)))
21	20	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ (C ∈ ℋ ∧ w ∈ (span ‘{C}))) → ((y −v z) = w → w ∈ (A +ℋ B)))
22	15, 21	sylbird 180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ (C ∈ ℋ ∧ w ∈ (span ‘{C}))) → (y = (z +v w) → w ∈ (A +ℋ B)))
23	22	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) → (C ∈ ℋ → (w ∈ (span ‘{C}) → (y = (z +v w) → w ∈ (A +ℋ B)))))
24	23	com4r 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y = (z +v w) → ((y ∈ A ∧ z ∈ B) → (C ∈ ℋ → (w ∈ (span ‘{C}) → w ∈ (A +ℋ B)))))
25	24	imp31 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) ∧ C ∈ ℋ ) → (w ∈ (span ‘{C}) → w ∈ (A +ℋ B)))
26	25	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) ∧ (C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B))) → (w ∈ (span ‘{C}) → w ∈ (A +ℋ B)))
27	17, 3	shscl 5282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (A +ℋ B) ∈ Sℋ
28		elspansn5t 5479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((A +ℋ B) ∈ Sℋ → (((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) ∧ (w ∈ (span ‘{C}) ∧ w ∈ (A +ℋ B))) → w = 0v))
29	27, 28	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) ∧ (w ∈ (span ‘{C}) ∧ w ∈ (A +ℋ B))) → w = 0v)
30	29	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → (w ∈ (span ‘{C}) → (w ∈ (A +ℋ B) → w = 0v)))
31	30	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) ∧ (C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B))) → (w ∈ (span ‘{C}) → (w ∈ (A +ℋ B) → w = 0v)))
32	26, 31	mpdd 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) ∧ (C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B))) → (w ∈ (span ‘{C}) → w = 0v))
33		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (w = 0v → (z +v w) = (z +v 0v))
34		ax-hvaddid 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (z ∈ ℋ → (z +v 0v) = z)
35	33, 34	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((z ∈ ℋ ∧ w = 0v) → (z +v w) = z)
36	35, 12	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((z ∈ B ∧ w = 0v) → (z +v w) = z)
37	36	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((z ∈ B ∧ w = 0v) → (y = (z +v w) ↔ y = z))
38	37	adantll 309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ w = 0v) → (y = (z +v w) ↔ y = z))
39	38	biimpac 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y = (z +v w) ∧ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ w = 0v)) → y = z)
40		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (y ∈ (B ∩ A) ↔ (y ∈ B ∧ y ∈ A))
41	40	biimpr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((y ∈ B ∧ y ∈ A) → y ∈ (B ∩ A))
42	41	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((y ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ (B ∩ A))
43		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (y = z → (y ∈ B ↔ z ∈ B))
44	43	biimparc 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((z ∈ B ∧ y = z) → y ∈ B)
45	42, 44	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((y ∈ A ∧ (z ∈ B ∧ y = z)) → y ∈ (B ∩ A))
46	45	anassrs 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ y = z) → y ∈ (B ∩ A))
47	46	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) → (y = z → y ∈ (B ∩ A)))
48	47	ad2antrl 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y = (z +v w) ∧ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ w = 0v)) → (y = z → y ∈ (B ∩ A)))
49	39, 48	mpd 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y = (z +v w) ∧ ((y ∈ A ∧ z ∈ B) ∧ w = 0v)) → y ∈ (B ∩ A))
50	49	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y = (z +v w) → ((y ∈ A ∧ z ∈ B) → (w = 0v → y ∈ (B ∩ A))))
51	50	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) → (w = 0v → y ∈ (B ∩ A)))
52	51	a1d 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) → (w ∈ (span ‘{C}) → (w = 0v → y ∈ (B ∩ A))))
53	52	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) ∧ (C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B))) → (w ∈ (span ‘{C}) → (w = 0v → y ∈ (B ∩ A))))
54	32, 53	mpdd 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) ∧ (C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B))) → (w ∈ (span ‘{C}) → y ∈ (B ∩ A)))
55	54	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) → ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → (w ∈ (span ‘{C}) → y ∈ (B ∩ A))))
56	55	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y = (z +v w) ∧ (y ∈ A ∧ z ∈ B)) → (w ∈ (span ‘{C}) → ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → y ∈ (B ∩ A))))
57	56	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = (z +v w) → (y ∈ A → (z ∈ B → (w ∈ (span ‘{C}) → ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → y ∈ (B ∩ A))))))
58	57	com4l 39	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ A → (z ∈ B → (w ∈ (span ‘{C}) → (y = (z +v w) → ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → y ∈ (B ∩ A))))))
59	58	imp4c 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ A → (((z ∈ B ∧ w ∈ (span ‘{C})) ∧ y = (z +v w)) → ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → y ∈ (B ∩ A))))
60	59	exp4a 295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ A → (((z ∈ B ∧ w ∈ (span ‘{C})) ∧ y = (z +v w)) → (C ∈ ℋ → (¬ C ∈ (A +ℋ B) → y ∈ (B ∩ A)))))
61	60	com23 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ A → (C ∈ ℋ → (((z ∈ B ∧ w ∈ (span ‘{C})) ∧ y = (z +v w)) → (¬ C ∈ (A +ℋ B) → y ∈ (B ∩ A)))))
62	61	com4l 39	. . . . . . . . 9 ⊢ (C ∈ ℋ → (((z ∈ B ∧ w ∈ (span ‘{C})) ∧ y = (z +v w)) → (¬ C ∈ (A +ℋ B) → (y ∈ A → y ∈ (B ∩ A)))))
63	62	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∈ ℋ → ((z ∈ B ∧ w ∈ (span ‘{C})) → (y = (z +v w) → (¬ C ∈ (A +ℋ B) → (y ∈ A → y ∈ (B ∩ A))))))
64	63	r19.23advv 1288	. . . . . . 7 ⊢ (C ∈ ℋ → (∃z ∈ B ∃w ∈ (span ‘{C})y = (z +v w) → (¬ C ∈ (A +ℋ B) → (y ∈ A → y ∈ (B ∩ A)))))
65	6, 64	sylbid 178	. . . . . 6 ⊢ (C ∈ ℋ → (y ∈ (B +ℋ (span ‘{C})) → (¬ C ∈ (A +ℋ B) → (y ∈ A → y ∈ (B ∩ A)))))
66	65	com23 32	. . . . 5 ⊢ (C ∈ ℋ → (¬ C ∈ (A +ℋ B) → (y ∈ (B +ℋ (span ‘{C})) → (y ∈ A → y ∈ (B ∩ A)))))
67	66	imp4b 283	. . . 4 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → ((y ∈ (B +ℋ (span ‘{C})) ∧ y ∈ A) → y ∈ (B ∩ A)))
68		elin 1635	. . . 4 ⊢ (y ∈ ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A) ↔ (y ∈ (B +ℋ (span ‘{C})) ∧ y ∈ A))
69	67, 68	syl5ib 181	. . 3 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → (y ∈ ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A) → y ∈ (B ∩ A)))
70	69	ssrdv 1509	. 2 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A) ⊆ (B ∩ A))
71		shsub1t 5289	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ Sℋ ∧ (span ‘{C}) ∈ Sℋ ) → B ⊆ (B +ℋ (span ‘{C})))
72	3, 71	mpan 518	. . . 4 ⊢ ((span ‘{C}) ∈ Sℋ → B ⊆ (B +ℋ (span ‘{C})))
73		ssrin 1661	. . . 4 ⊢ (B ⊆ (B +ℋ (span ‘{C})) → (B ∩ A) ⊆ ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A))
74	1, 72, 73	3syl 21	. . 3 ⊢ (C ∈ ℋ → (B ∩ A) ⊆ ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A))
75	74	adantr 306	. 2 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → (B ∩ A) ⊆ ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A))
76	70, 75	eqssd 1518	1 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ ¬ C ∈ (A +ℋ B)) → ((B +ℋ (span ‘{C})) ∩ A) = (B ∩ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  {csn 1808   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968   +_ℋ cph 4970  spancspn 4971

This theorem is referenced by:  sumdmd 5787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-shsum 5275  df-span 5276

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