Theorem sup2 4510

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent).

Assertion

Ref	Expression
sup2	⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem sup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		axaddrcl 4067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (x + 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℝ → (x + 1) ∈ ℝ)
4	3	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → (x + 1) ∈ ℝ)
5	4	a1i 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → (x + 1) ∈ ℝ))
6		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (A ⊆ ℝ → (y ∈ A → y ∈ ℝ))
7		axlttrn 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ ∧ (x + 1) ∈ ℝ) → ((y < x ∧ x < (x + 1)) → y < (x + 1)))
8	7	3expb 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ (x ∈ ℝ ∧ (x + 1) ∈ ℝ)) → ((y < x ∧ x < (x + 1)) → y < (x + 1)))
9	3	ancli 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (x ∈ ℝ → (x ∈ ℝ ∧ (x + 1) ∈ ℝ))
10	8, 9	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((y < x ∧ x < (x + 1)) → y < (x + 1)))
11		ltplus1t 4383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (x ∈ ℝ → x < (x + 1))
12	10, 11	sylan2i 357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((y < x ∧ x ∈ ℝ) → y < (x + 1)))
13	12	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (y ∈ ℝ → (x ∈ ℝ → (y < x → (x ∈ ℝ → y < (x + 1)))))
14	13	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (y ∈ ℝ → (x ∈ ℝ → (x ∈ ℝ → (y < x → y < (x + 1)))))
15	14	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (y ∈ ℝ → (x ∈ ℝ → (y < x → y < (x + 1))))
16	15	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y < x → y < (x + 1)))
17		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (y = x → (y < (x + 1) ↔ x < (x + 1)))
18	17	biimprcd 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (x < (x + 1) → (y = x → y < (x + 1)))
19	11, 18	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (x ∈ ℝ → (y = x → y < (x + 1)))
20	19	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y = x → y < (x + 1)))
21	16, 20	jaod 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((y < x ∨ y = x) → y < (x + 1)))
22	21	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y ∈ ℝ → (x ∈ ℝ → ((y < x ∨ y = x) → y < (x + 1))))
23	6, 22	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A ⊆ ℝ → (y ∈ A → (x ∈ ℝ → ((y < x ∨ y = x) → y < (x + 1)))))
24	23	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ⊆ ℝ → (x ∈ ℝ → (y ∈ A → ((y < x ∨ y = x) → y < (x + 1)))))
25	24	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y ∈ A → ((y < x ∨ y = x) → y < (x + 1))))
26	25	a2d 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((y ∈ A → (y < x ∨ y = x)) → (y ∈ A → y < (x + 1))))
27	26	19.20dv 946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (∀y(y ∈ A → (y < x ∨ y = x)) → ∀y(y ∈ A → y < (x + 1))))
28		df-ral 1205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ A (y < x ∨ y = x) ↔ ∀y(y ∈ A → (y < x ∨ y = x)))
29		df-ral 1205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ A y < (x + 1) ↔ ∀y(y ∈ A → y < (x + 1)))
30	27, 28, 29	3imtr4g 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ A (y < x ∨ y = x) → ∀y ∈ A y < (x + 1)))
31	30	exp 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ⊆ ℝ → (x ∈ ℝ → (∀y ∈ A (y < x ∨ y = x) → ∀y ∈ A y < (x + 1))))
32	31	imp3a 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ∀y ∈ A y < (x + 1)))
33	5, 32	jcad 455	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ((x + 1) ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < (x + 1))))
34		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x + 1) ∈ V
35		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = (x + 1) → (z ∈ ℝ ↔ (x + 1) ∈ ℝ))
36		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = (x + 1) → (y < z ↔ y < (x + 1)))
37	36	biraldv 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = (x + 1) → (∀y ∈ A y < z ↔ ∀y ∈ A y < (x + 1)))
38	35, 37	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = (x + 1) → ((z ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < z) ↔ ((x + 1) ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < (x + 1))))
39	34, 38	cla4ev 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x + 1) ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < (x + 1)) → ∃z(z ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < z))
40	33, 39	syl6 23	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ∃z(z ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < z)))
41	40	19.23adv 954	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ∃z(z ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < z)))
42		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = x → (z ∈ ℝ ↔ x ∈ ℝ))
43		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = x → (y < z ↔ y < x))
44	43	biraldv 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = x → (∀y ∈ A y < z ↔ ∀y ∈ A y < x))
45	42, 44	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (z = x → ((z ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < z) ↔ (x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < x)))
46	45	cbvexv 973	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(z ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < z) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < x))
47	41, 46	syl6ib 185	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < x)))
48		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)))
49		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ A y < x))
50	47, 48, 49	3imtr4g 426	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x) → ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x))
51	50	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x) → ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x))
52	51	imdistani 340	. . 3 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅) ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅) ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x))
53		df-3an 583	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) ↔ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅) ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)))
54		df-3an 583	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) ↔ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅) ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x))
55	52, 53, 54	3imtr4 192	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → (A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x))
56		axsup 4088	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))
57	55, 56	syl 12	1 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A (y < x ∨ y = x)) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∧ w3a 581  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033

This theorem is referenced by:  sup3 4511  nnunb 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135

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