Theorem supex 2157

Description: A supremum is a set.

Hypothesis

Ref	Expression
supmo.1	⊢ R Or A

Assertion

Ref	Expression
supex	⊢ sup(B, A, R) ∈ V

Proof of Theorem supex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 2154	. . 3 ⊢ sup(B, A, R) = ∪{x ∈ A∣(∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz))}
2		df-rab 1208	. . . 4 ⊢ {x ∈ A∣(∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz))} = {x∣(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz)))}
3	2	unieqi 1928	. . 3 ⊢ ∪{x ∈ A∣(∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz))} = ∪{x∣(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz)))}
4	1, 3	eqtr 1119	. 2 ⊢ sup(B, A, R) = ∪{x∣(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz)))}
5		supmo.1	. . . . 5 ⊢ R Or A
6	5	supmo 2156	. . . 4 ⊢ ∃*x(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz)))
7		moabex 1868	. . . 4 ⊢ (∃*x(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz))) → {x∣(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz)))} ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 6	. . 3 ⊢ {x∣(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz)))} ∈ V
9	8	uniex 1947	. 2 ⊢ ∪{x∣(x ∈ A ∧ (∀y ∈ B ¬ xRy ∧ ∀y ∈ A (yRx → ∃z ∈ B yRz)))} ∈ V
10	4, 9	eqeltr 1159	1 ⊢ sup(B, A, R) ∈ V

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃*wmo 1008  {cab 1090   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204  Vcvv 1348  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054   Or wor 2059  supcsup 2060

This theorem is referenced by:  sqrval 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154

metamath.org