Theorem suplem2pr 3956

Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
suplem2pr	⊢ (A ⊆ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))

Distinct variable group(s):   y,z,A

Proof of Theorem suplem2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 3885	. . . . . . 7 ⊢ P ∈ V
2	1	ssex 1700	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ P → A ∈ V)
3		uniexg 1948	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → ∪A ∈ V)
4		ltrelpr 3895	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
5	4	brelg 2458	. . . . . . 7 ⊢ (∪A ∈ V → (y<P ∪A → (y ∈ P ∧ ∪A ∈ P)))
6		pm3.26 256	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ P ∧ ∪A ∈ P) → y ∈ P)
7	5, 6	syl6 23	. . . . . 6 ⊢ (∪A ∈ V → (y<P ∪A → y ∈ P))
8	2, 3, 7	3syl 21	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ P → (y<P ∪A → y ∈ P))
9		ltsopr 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ <P Or P
10		sotric 2148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((<P Or P ∧ (y ∈ P ∧ z ∈ P)) → (y<P z ↔ ¬ (y = z ∨ z<P y)))
11	9, 10	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y<P z ↔ ¬ (y = z ∨ z<P y)))
12	11	bicon2d 404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → ((y = z ∨ z<P y) ↔ ¬ y<P z))
13	12	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ P ∧ y ∈ P) → ((y = z ∨ z<P y) ↔ ¬ y<P z))
14		ltprord 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z ∈ P ∧ y ∈ P) → (z<P y ↔ z ⊂ y))
15	14	orbi2d 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ P ∧ y ∈ P) → ((y = z ∨ z<P y) ↔ (y = z ∨ z ⊂ y)))
16		sspss 1569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ⊆ y ↔ (z ⊂ y ∨ z = y))
17		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z = y ↔ y = z)
18	17	orbi2i 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z ⊂ y ∨ z = y) ↔ (z ⊂ y ∨ y = z))
19		orcom 209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z ⊂ y ∨ y = z) ↔ (y = z ∨ z ⊂ y))
20	16, 18, 19	3bitr 155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ⊆ y ↔ (y = z ∨ z ⊂ y))
21	15, 20	syl6bbr 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ P ∧ y ∈ P) → ((y = z ∨ z<P y) ↔ z ⊆ y))
22	13, 21	bitr3d 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ P ∧ y ∈ P) → (¬ y<P z ↔ z ⊆ y))
23		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ⊆ P ∧ z ∈ A) → z ∈ P)
24	22, 23	sylan 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ⊆ P ∧ z ∈ A) ∧ y ∈ P) → (¬ y<P z ↔ z ⊆ y))
25	24	an1rs 373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ⊆ P ∧ y ∈ P) ∧ z ∈ A) → (¬ y<P z ↔ z ⊆ y))
26	25	exp 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ P ∧ y ∈ P) → (z ∈ A → (¬ y<P z ↔ z ⊆ y)))
27	26	pm5.74d 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ P ∧ y ∈ P) → ((z ∈ A → ¬ y<P z) ↔ (z ∈ A → z ⊆ y)))
28	27	bialdv 935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ⊆ P ∧ y ∈ P) → (∀z(z ∈ A → ¬ y<P z) ↔ ∀z(z ∈ A → z ⊆ y)))
29		alinexa 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀z(z ∈ A → ¬ y<P z) ↔ ¬ ∃z(z ∈ A ∧ y<P z))
30		unissb 1941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪A ⊆ y ↔ ∀z ∈ A z ⊆ y)
31		df-ral 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀z ∈ A z ⊆ y ↔ ∀z(z ∈ A → z ⊆ y))
32	30, 31	bitr2 152	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀z(z ∈ A → z ⊆ y) ↔ ∪A ⊆ y)
33	28, 29, 32	3bitr3g 427	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ⊆ P ∧ y ∈ P) → (¬ ∃z(z ∈ A ∧ y<P z) ↔ ∪A ⊆ y))
34		ssnpss 1573	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪A ⊆ y → ¬ y ⊂ ∪A)
35		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ y ∈ V
36	35	ssex 1700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪A ⊆ y → ∪A ∈ V)
37		ltprord 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ P ∧ ∪A ∈ P) → (y<P ∪A ↔ y ⊂ ∪A))
38	37	biimpd 135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ P ∧ ∪A ∈ P) → (y<P ∪A → y ⊂ ∪A))
39	5, 38	syli 52	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪A ∈ V → (y<P ∪A → y ⊂ ∪A))
40	36, 39	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪A ⊆ y → (y<P ∪A → y ⊂ ∪A))
41	34, 40	mtod 95	. . . . . . . 8 ⊢ (∪A ⊆ y → ¬ y<P ∪A)
42	33, 41	syl6bi 187	. . . . . . 7 ⊢ ((A ⊆ P ∧ y ∈ P) → (¬ ∃z(z ∈ A ∧ y<P z) → ¬ y<P ∪A))
43	42	a3d 70	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ P ∧ y ∈ P) → (y<P ∪A → ∃z(z ∈ A ∧ y<P z)))
44	43	exp 291	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ P → (y ∈ P → (y<P ∪A → ∃z(z ∈ A ∧ y<P z))))
45	8, 44	syld 27	. . . 4 ⊢ (A ⊆ P → (y<P ∪A → (y<P ∪A → ∃z(z ∈ A ∧ y<P z))))
46	45	pm2.43d 59	. . 3 ⊢ (A ⊆ P → (y<P ∪A → ∃z(z ∈ A ∧ y<P z)))
47		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
48	47, 4	brel 2459	. . . . . . 7 ⊢ (y<P z → (y ∈ P ∧ z ∈ P))
49	48	pm3.27d 262	. . . . . 6 ⊢ (y<P z → z ∈ P)
50	49	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ A ∧ y<P z) → z ∈ P)
51	50	ancri 245	. . . 4 ⊢ ((z ∈ A ∧ y<P z) → (z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))
52	51	19.22i 723	. . 3 ⊢ (∃z(z ∈ A ∧ y<P z) → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))
53	46, 52	syl6 23	. 2 ⊢ (A ⊆ P → (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))
54		elssuni 1940	. . . 4 ⊢ (y ∈ A → y ⊆ ∪A)
55		ssnpss 1573	. . . 4 ⊢ (y ⊆ ∪A → ¬ ∪A ⊂ y)
56	54, 55	syl 12	. . 3 ⊢ (y ∈ A → ¬ ∪A ⊂ y)
57	35, 4	brel 2459	. . . 4 ⊢ (∪A<P y → (∪A ∈ P ∧ y ∈ P))
58		ltprord 3928	. . . . 5 ⊢ ((∪A ∈ P ∧ y ∈ P) → (∪A<P y ↔ ∪A ⊂ y))
59	58	biimpd 135	. . . 4 ⊢ ((∪A ∈ P ∧ y ∈ P) → (∪A<P y → ∪A ⊂ y))
60	57, 59	mpcom 49	. . 3 ⊢ (∪A<P y → ∪A ⊂ y)
61	56, 60	nsyl 102	. 2 ⊢ (y ∈ A → ¬ ∪A<P y)
62	53, 61	jctil 240	1 ⊢ (A ⊆ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054   Or wor 2059  Pcnp 3779  <_P cltp 3783

This theorem is referenced by:  suppr 3957

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880  df-ltp 3884

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