Theorem suppr 3957

Description: The union of a non-empty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
suppr	⊢ (((A ⊆ P ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → (y ∈ A → y<P x)))) → ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ x<P y) ∧ (y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem suppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . 4 ⊢ (x = ∪A → (x ∈ P ↔ ∪A ∈ P))
2		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ∪A → (x<P y ↔ ∪A<P y))
3	2	negbid 463	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∪A → (¬ x<P y ↔ ¬ ∪A<P y))
4	3	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∪A → ((y ∈ A → ¬ x<P y) ↔ (y ∈ A → ¬ ∪A<P y)))
5		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∪A → (y<P x ↔ y<P ∪A))
6	5	imbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∪A → ((y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))) ↔ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))
7	4, 6	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ (x = ∪A → (((y ∈ A → ¬ x<P y) ∧ (y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))) ↔ ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))))
8	7	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = ∪A → ((y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ x<P y) ∧ (y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))) ↔ (y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))))
9	8	bialdv 935	. . . 4 ⊢ (x = ∪A → (∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ x<P y) ∧ (y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))) ↔ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))))
10	1, 9	anbi12d 476	. . 3 ⊢ (x = ∪A → ((x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ x<P y) ∧ (y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))) ↔ (∪A ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))))))
11	10	cla4egv 1397	. 2 ⊢ (∪A ∈ P → ((∪A ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))) → ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ x<P y) ∧ (y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))))))
12		suplem1pr 3955	. 2 ⊢ (((A ⊆ P ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → (y ∈ A → y<P x)))) → ∪A ∈ P)
13		suplem2pr 3956	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))
14	13	a1d 14	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ P → (y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))))
15	14	19.21aiv 943	. . . 4 ⊢ (A ⊆ P → ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))))
16	15	ad2antll 320	. . 3 ⊢ (((A ⊆ P ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → (y ∈ A → y<P x)))) → ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z))))))
17	12, 16	jca 236	. 2 ⊢ (((A ⊆ P ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → (y ∈ A → y<P x)))) → (∪A ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ ∪A<P y) ∧ (y<P ∪A → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))))
18	11, 12, 17	sylc 62	1 ⊢ (((A ⊆ P ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → (y ∈ A → y<P x)))) → ∃x(x ∈ P ∧ ∀y(y ∈ P → ((y ∈ A → ¬ x<P y) ∧ (y<P x → ∃z(z ∈ P ∧ (z ∈ A ∧ y<P z)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054  Pcnp 3779  <_P cltp 3783

This theorem is referenced by:  suppsr 4016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880  df-ltp 3884

metamath.org