Theorem suppsr2 4017

Description: A non-empty, bounded set of positive signed reals has a supremum. (Converts quantifier restrictions to all reals.)

Assertion

Ref	Expression
suppsr2	⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem suppsr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 698	. . . . . 6 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → ∀x∀x(x ∈ A → 0R <R x))
2		ax-17 925	. . . . . 6 ⊢ (¬ A = ∅ → ∀x ¬ A = ∅)
3	1, 2	hban 704	. . . . 5 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → ∀x(∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅))
4		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = z → (x ∈ A ↔ z ∈ A))
5		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = z → (0R <R x ↔ 0R <R z))
6	4, 5	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = z → ((x ∈ A → 0R <R x) ↔ (z ∈ A → 0R <R z)))
7	6	a4b1 928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → (z ∈ A → 0R <R z))
8		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y = z → (y ∈ R ↔ z ∈ R))
9		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y = z → (y ∈ A ↔ z ∈ A))
10		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y = z → (y <R x ↔ z <R x))
11	9, 10	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y = z → ((y ∈ A → y <R x) ↔ (z ∈ A → z <R x)))
12	8, 11	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = z → ((y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) ↔ (z ∈ R → (z ∈ A → z <R x))))
13	12	a4b1 928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (z ∈ R → (z ∈ A → z <R x)))
14		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ z ∈ V
15		ltrelsr 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ <R ⊆ (R × R)
16	14, 15	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0R <R z → (0R ∈ R ∧ z ∈ R))
17	16	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0R <R z → z ∈ R)
18	13, 17	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (0R <R z → (z ∈ A → z <R x)))
19		anc2l 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0R <R z → (z ∈ A → z <R x)) → (0R <R z → (z ∈ A → (0R <R z ∧ z <R x))))
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (0R <R z → (z ∈ A → (0R <R z ∧ z <R x))))
21		0r 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0R ∈ R
22	21	elisseti 1355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0R ∈ V
23		ltsosr 3997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <R Or R
24		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ x ∈ V
25	22, 23, 15, 14, 24	sotri 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0R <R z ∧ z <R x) → 0R <R x)
26	20, 25	syl8 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (0R <R z → (z ∈ A → 0R <R x)))
27	7, 26	sylan9 359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → (z ∈ A → (z ∈ A → 0R <R x)))
28	27	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → (z ∈ A → 0R <R x))
29	28	19.23adv 954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → (∃z z ∈ A → 0R <R x))
30		n0 1714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃z z ∈ A)
31	29, 30	syl5ib 181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → (¬ A = ∅ → 0R <R x))
32	31	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (¬ A = ∅ → 0R <R x)))
33	32	com23 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → (¬ A = ∅ → (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → 0R <R x)))
34	33	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → 0R <R x))
35		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ y ∈ V
36	35, 15	brel 2459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0R <R y → (0R ∈ R ∧ y ∈ R))
37	36	pm3.27d 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0R <R y → y ∈ R)
38	37	syl4 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (0R <R y → (y ∈ A → y <R x)))
39	38	19.20i 691	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → ∀y(0R <R y → (y ∈ A → y <R x)))
40	39	a1i 7	. . . . . . 7 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → ∀y(0R <R y → (y ∈ A → y <R x))))
41	34, 40	jcad 455	. . . . . 6 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → (y ∈ A → y <R x)))))
42	41	adantld 307	. . . . 5 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → ((x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → (0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → (y ∈ A → y <R x)))))
43	3, 42	19.22d 744	. . . 4 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → (y ∈ A → y <R x)))))
44	43	imdistani 340	. . 3 ⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → (y ∈ A → y <R x)))))
45		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (v = w → (v +P 1P) = (w +P 1P))
46		opeq1 1876	. . . . . . 7 ⊢ ((v +P 1P) = (w +P 1P) → ⟨(v +P 1P), 1P⟩ = ⟨(w +P 1P), 1P⟩)
47		eceq2 3215	. . . . . . 7 ⊢ (⟨(v +P 1P), 1P⟩ = ⟨(w +P 1P), 1P⟩ → [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R = [⟨(w +P 1P), 1P⟩] ~R )
48	45, 46, 47	3syl 21	. . . . . 6 ⊢ (v = w → [⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R = [⟨(w +P 1P), 1P⟩] ~R )
49	48	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (v = w → ([⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ A ↔ [⟨(w +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ A))
50	49	cbvabv 1424	. . . 4 ⊢ {v∣[⟨(v +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ A} = {w∣[⟨(w +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ A}
51	50	suppsr 4016	. . 3 ⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
52	44, 51	syl 12	. 2 ⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
53	24, 15	brel 2459	. . . . . . 7 ⊢ (0R <R x → (0R ∈ R ∧ x ∈ R))
54	53	pm3.27d 262	. . . . . 6 ⊢ (0R <R x → x ∈ R)
55	54	a1i 7	. . . . 5 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (0R <R x → x ∈ R))
56		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = y → (x ∈ A ↔ y ∈ A))
57		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = y → (0R <R x ↔ 0R <R y))
58	56, 57	imbi12d 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = y → ((x ∈ A → 0R <R x) ↔ (y ∈ A → 0R <R y)))
59	58	a4b1 928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → (y ∈ A → 0R <R y))
60		syl2 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ A → 0R <R y) → ((0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)) → (y ∈ A → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
61		pm2.43 57	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ A → (y ∈ A → ¬ x <R y)) → (y ∈ A → ¬ x <R y))
62	61	a1d 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ A → (y ∈ A → ¬ x <R y)) → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y)))
63	60, 62	syl6 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ A → 0R <R y) → ((0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)) → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
64	59, 63	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → ((0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)) → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
65	64	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → ((0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)) → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
66		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ y ∈ R) ∧ (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) → (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))
67	7	ancld 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → (z ∈ A → (z ∈ A ∧ 0R <R z)))
68		sotric 2148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (( <R Or R ∧ (0R ∈ R ∧ y ∈ R)) → (0R <R y ↔ ¬ (0R = y ∨ y <R 0R)))
69	23, 68	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0R ∈ R ∧ y ∈ R) → (0R <R y ↔ ¬ (0R = y ∨ y <R 0R)))
70	21, 69	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (y ∈ R → (0R <R y ↔ ¬ (0R = y ∨ y <R 0R)))
71	70	bicon2d 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (y ∈ R → ((0R = y ∨ y <R 0R) ↔ ¬ 0R <R y))
72		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0R = y → (0R <R z ↔ y <R z))
73	72	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0R = y → (0R <R z → y <R z))
74	35, 23, 15, 22, 14	sotri 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((y <R 0R ∧ 0R <R z) → y <R z)
75	74	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (y <R 0R → (0R <R z → y <R z))
76	73, 75	jaoi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((0R = y ∨ y <R 0R) → (0R <R z → y <R z))
77	71, 76	syl6bir 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (y ∈ R → (¬ 0R <R y → (0R <R z → y <R z)))
78	77	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ R ∧ ¬ 0R <R y) → (0R <R z → y <R z))
79	78	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((¬ 0R <R y ∧ y ∈ R) → (0R <R z → y <R z))
80	79	ancld 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ 0R <R y ∧ y ∈ R) → (0R <R z → (0R <R z ∧ y <R z)))
81	80	anim2d 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 0R <R y ∧ y ∈ R) → ((z ∈ A ∧ 0R <R z) → (z ∈ A ∧ (0R <R z ∧ y <R z))))
82		an12 370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((z ∈ A ∧ (0R <R z ∧ y <R z)) ↔ (0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))
83	81, 82	syl6ib 185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((¬ 0R <R y ∧ y ∈ R) → ((z ∈ A ∧ 0R <R z) → (0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
84	67, 83	sylan9 359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ (¬ 0R <R y ∧ y ∈ R)) → (z ∈ A → (0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
85	84	19.22dv 947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ (¬ 0R <R y ∧ y ∈ R)) → (∃z z ∈ A → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
86	85, 30	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ (¬ 0R <R y ∧ y ∈ R)) → (¬ A = ∅ → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
87	86	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → (¬ 0R <R y → (y ∈ R → (¬ A = ∅ → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
88	87	com24 37	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀x(x ∈ A → 0R <R x) → (¬ A = ∅ → (y ∈ R → (¬ 0R <R y → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
89	88	imp31 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ y ∈ R) → (¬ 0R <R y → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
90		ax-1 3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)) → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
91	89, 90	syl6 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ y ∈ R) → (¬ 0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))
92	91	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ y ∈ R) ∧ (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) → (¬ 0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))
93	66, 92	pm2.61d 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ y ∈ R) ∧ (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
94	93	an1rs 373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) ∧ y ∈ R) → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
95	17	anim1i 269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)) → (z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))
96	95	19.22i 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))
97	94, 96	syl6 23	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) ∧ y ∈ R) → (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
98	97	exp31 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → ((0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))) → (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
99	65, 98	anim12d 431	. . . . . . 7 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (((0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)) ∧ (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) → ((y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y)) ∧ (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
100		jcab 454	. . . . . . 7 ⊢ ((0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) ↔ ((0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)) ∧ (0R <R y → (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
101		jcab 454	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) ↔ ((y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y)) ∧ (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
102	99, 100, 101	3imtr4g 426	. . . . . 6 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → ((0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) → (y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
103	102	19.20dv 946	. . . . 5 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (∀y(0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) → ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
104	55, 103	anim12d 431	. . . 4 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → ((0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))) → (x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))))
105	3, 104	19.22d 744	. . 3 ⊢ ((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) → (∃x(0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))))
106	105	adantr 306	. 2 ⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → (∃x(0R <R x ∧ ∀y(0R <R y → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(0R <R z ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))))
107	52, 106	mpd 46	1 ⊢ (((∀x(x ∈ A → 0R <R x) ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054   Or wor 2059  (class class class)co 3001  [cec 3198  1_Pc1p 3780   +_P cpp 3781   ~_R cer 3786  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  suppsr3 4018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-enr 3960  df-nr 3961  df-ltr 3964  df-0r 3965

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