Theorem supre 4054

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum.

Hypothesis

Ref	Expression
supre.1	⊢ B = {w∣⟨w, 0R⟩ ∈ A}

Assertion

Ref	Expression
supre	⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))

Distinct variable group(s):   x,w,A   x,y,z,B,w

Proof of Theorem supre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsr 4025	. . . 4 ⊢ (((B ⊆ R ∧ ¬ B = ∅) ∧ ∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)))) → ∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)))))))
2		opex 1893	. . . . 5 ⊢ ⟨w, 0R⟩ ∈ V
3		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (⟨w, 0R⟩ < y ↔ x < y))
4	3	negbid 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (¬ ⟨w, 0R⟩ < y ↔ ¬ x < y))
5	4	imbi2d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → ((y ∈ A → ¬ ⟨w, 0R⟩ < y) ↔ (y ∈ A → ¬ x < y)))
6		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (y < ⟨w, 0R⟩ ↔ y < x))
7	6	imbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → ((y < ⟨w, 0R⟩ → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))) ↔ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))
8	5, 7	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (((y ∈ A → ¬ ⟨w, 0R⟩ < y) ∧ (y < ⟨w, 0R⟩ → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))) ↔ ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → ((y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ ⟨w, 0R⟩ < y) ∧ (y < ⟨w, 0R⟩ → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) ↔ (y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))
10	9	bialdv 935	. . . . . 6 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ ⟨w, 0R⟩ < y) ∧ (y < ⟨w, 0R⟩ → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))
11		opex 1893	. . . . . . 7 ⊢ ⟨v, 0R⟩ ∈ V
12		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (⟨v, 0R⟩ ∈ A ↔ y ∈ A))
13		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ v ∈ V
14		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = v → ⟨w, 0R⟩ = ⟨v, 0R⟩)
15	14	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = v → (⟨w, 0R⟩ ∈ A ↔ ⟨v, 0R⟩ ∈ A))
16		supre.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ B = {w∣⟨w, 0R⟩ ∈ A}
17	13, 15, 16	elab2 1419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ B ↔ ⟨v, 0R⟩ ∈ A)
18	12, 17	syl5bb 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (v ∈ B ↔ y ∈ A))
19		breq2 2066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (⟨w, 0R⟩ < ⟨v, 0R⟩ ↔ ⟨w, 0R⟩ < y))
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ w ∈ V
21	20, 13	ltresr 4052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨w, 0R⟩ < ⟨v, 0R⟩ ↔ w <R v)
22	19, 21	syl5bbr 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (w <R v ↔ ⟨w, 0R⟩ < y))
23	22	negbid 463	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (¬ w <R v ↔ ¬ ⟨w, 0R⟩ < y))
24	18, 23	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ↔ (y ∈ A → ¬ ⟨w, 0R⟩ < y)))
25		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (⟨v, 0R⟩ < ⟨w, 0R⟩ ↔ y < ⟨w, 0R⟩))
26	13, 20	ltresr 4052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨v, 0R⟩ < ⟨w, 0R⟩ ↔ v <R w)
27	25, 26	syl5bbr 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (v <R w ↔ y < ⟨w, 0R⟩))
28		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (⟨v, 0R⟩ < z ↔ y < z))
29	28	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → ((z ∈ A ∧ ⟨v, 0R⟩ < z) ↔ (z ∈ A ∧ y < z)))
30	29	anbi2d 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → ((z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ ⟨v, 0R⟩ < z)) ↔ (z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))
31	30	biexdv 936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ ⟨v, 0R⟩ < z)) ↔ ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))
32		opex 1893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨u, 0R⟩ ∈ V
33		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨u, 0R⟩ = z → (⟨u, 0R⟩ ∈ A ↔ z ∈ A))
34		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ u ∈ V
35		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = u → ⟨w, 0R⟩ = ⟨u, 0R⟩)
36	35	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = u → (⟨w, 0R⟩ ∈ A ↔ ⟨u, 0R⟩ ∈ A))
37	34, 36, 16	elab2 1419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u ∈ B ↔ ⟨u, 0R⟩ ∈ A)
38	33, 37	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨u, 0R⟩ = z → (u ∈ B ↔ z ∈ A))
39		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨u, 0R⟩ = z → (⟨v, 0R⟩ < ⟨u, 0R⟩ ↔ ⟨v, 0R⟩ < z))
40	13, 34	ltresr 4052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨v, 0R⟩ < ⟨u, 0R⟩ ↔ v <R u)
41	39, 40	syl5bbr 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨u, 0R⟩ = z → (v <R u ↔ ⟨v, 0R⟩ < z))
42	38, 41	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨u, 0R⟩ = z → ((u ∈ B ∧ v <R u) ↔ (z ∈ A ∧ ⟨v, 0R⟩ < z)))
43		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨u, 0R⟩ = z → (⟨u, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ z ∈ ℝ))
44		opelreal 4043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨u, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ u ∈ R)
45	43, 44	syl5bbr 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨u, 0R⟩ = z → (u ∈ R ↔ z ∈ ℝ))
46		elreal 4044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ ℝ ↔ ∃u(u ∈ R ∧ ⟨u, 0R⟩ = z))
47	32, 42, 45, 46	gencbvex 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)) ↔ ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ ⟨v, 0R⟩ < z)))
48	31, 47	syl5bb 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)) ↔ ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))
49	27, 48	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → ((v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u))) ↔ (y < ⟨w, 0R⟩ → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))
50	24, 49	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)))) ↔ ((y ∈ A → ¬ ⟨w, 0R⟩ < y) ∧ (y < ⟨w, 0R⟩ → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))))
51		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (⟨v, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ y ∈ ℝ))
52		opelreal 4043	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨v, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ v ∈ R)
53	51, 52	syl5bbr 412	. . . . . . 7 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → (v ∈ R ↔ y ∈ ℝ))
54		elreal 4044	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℝ ↔ ∃v(v ∈ R ∧ ⟨v, 0R⟩ = y))
55	11, 50, 53, 54	gencbval 1373	. . . . . 6 ⊢ (∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u))))) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ ⟨w, 0R⟩ < y) ∧ (y < ⟨w, 0R⟩ → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z))))))
56	10, 55	syl5bb 410	. . . . 5 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u))))) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))
57		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ x ∈ ℝ))
58		opelreal 4043	. . . . . 6 ⊢ (⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ w ∈ R)
59	57, 58	syl5bbr 412	. . . . 5 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (w ∈ R ↔ x ∈ ℝ))
60		elreal 4044	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℝ ↔ ∃w(w ∈ R ∧ ⟨w, 0R⟩ = x))
61	2, 56, 59, 60	gencbvex 1372	. . . 4 ⊢ (∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)))))) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))
62	1, 61	sylib 173	. . 3 ⊢ (((B ⊆ R ∧ ¬ B = ∅) ∧ ∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)))) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))
63	6	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → ((y ∈ A → y < ⟨w, 0R⟩) ↔ (y ∈ A → y < x)))
64	63	imbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → ((y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < ⟨w, 0R⟩)) ↔ (y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x))))
65	64	bialdv 935	. . . . 5 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < ⟨w, 0R⟩)) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x))))
66	18, 27	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (⟨v, 0R⟩ = y → ((v ∈ B → v <R w) ↔ (y ∈ A → y < ⟨w, 0R⟩)))
67	11, 66, 53, 54	gencbval 1373	. . . . 5 ⊢ (∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < ⟨w, 0R⟩)))
68	65, 67	syl5bb 410	. . . 4 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x))))
69	2, 68, 59, 60	gencbvex 1372	. . 3 ⊢ (∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w))) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x))))
70	62, 69	sylan2br 348	. 2 ⊢ (((B ⊆ R ∧ ¬ B = ∅) ∧ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))
71	16	suprelem 4053	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) → (B ⊆ R ∧ ¬ B = ∅))
72	70, 71	sylan 343	1 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y < x)))) → ∃x(x ∈ ℝ ∧ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x < y) ∧ (y < x → ∃z(z ∈ ℝ ∧ (z ∈ A ∧ y < z)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788   <_R cltr 3793  ℝcr 4027   < clt 4033

This theorem is referenced by:  axsup 4088

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-r 4038  df-lt 4041

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