Theorem suprelem 5272

Description: Mapping of non-empty subset from signed reals to reals.

Hypothesis

Ref	Expression
supre.1	⊢ B = {w∣⟨w, 0R⟩ ∈ A}

Assertion

Ref	Expression
suprelem	⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) → (B ⊆ R ⋀ ¬ B = ∅))

Distinct variable groups:   w,A   w,B

Proof of Theorem suprelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2072	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℝ → (⟨w, 0R⟩ ∈ A → ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ))
2		supre.1	. . . . . . 7 ⊢ B = {w∣⟨w, 0R⟩ ∈ A}
3	2	abeq2i 1577	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ B ↔ ⟨w, 0R⟩ ∈ A)
4	1, 3	syl5ib 206	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℝ → (w ∈ B → ⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ))
5		opelreal 5262	. . . . 5 ⊢ (⟨w, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ w ∈ R)
6	4, 5	syl6ib 212	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (w ∈ B → w ∈ R))
7	6	ssrdv 2079	. . 3 ⊢ (A ⊆ ℝ → B ⊆ R)
8	7	adantr 391	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) → B ⊆ R)
9		ssel 2072	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℝ → (x ∈ A → x ∈ ℝ))
10	9	com12 11	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → (A ⊆ ℝ → x ∈ ℝ))
11		eleq1 1541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (⟨w, 0R⟩ ∈ A ↔ x ∈ A))
12	11, 3	syl5bb 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨w, 0R⟩ = x → (w ∈ B ↔ x ∈ A))
13	12	biimprcd 156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ A → (⟨w, 0R⟩ = x → w ∈ B))
14		n0i 2294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ B → ¬ B = ∅)
15	13, 14	syl6 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ A → (⟨w, 0R⟩ = x → ¬ B = ∅))
16	15	adantld 392	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ A → ((w ∈ R ⋀ ⟨w, 0R⟩ = x) → ¬ B = ∅))
17	16	19.23adv 1220	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ A → (∃w(w ∈ R ⋀ ⟨w, 0R⟩ = x) → ¬ B = ∅))
18		elreal 5263	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℝ ↔ ∃w(w ∈ R ⋀ ⟨w, 0R⟩ = x))
19	17, 18	syl5ib 206	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → (x ∈ ℝ → ¬ B = ∅))
20	10, 19	syld 27	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ A → (A ⊆ ℝ → ¬ B = ∅))
21	20	19.23aiv 1301	. . . . 5 ⊢ (∃x x ∈ A → (A ⊆ ℝ → ¬ B = ∅))
22	21	com12 11	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x x ∈ A → ¬ B = ∅))
23		n0 2299	. . . 4 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃x x ∈ A)
24	22, 23	syl5ib 206	. . 3 ⊢ (A ⊆ ℝ → (¬ A = ∅ → ¬ B = ∅))
25	24	imp 350	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) → ¬ B = ∅)
26	8, 25	jca 288	1 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) → (B ⊆ R ⋀ ¬ B = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∃wex 984  {cab 1470   ⊆ wss 2056  ∅c0 2289  ⟨cop 2421  Rcnr 5006  0_Rc0r 5007  ℝcr 5246

This theorem is referenced by:  supre 5273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-enr 5179  df-nr 5180  df-0r 5184  df-r 5257

Copyright terms: Public domain