Theorem supsr 4025

Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum.

Assertion

Ref	Expression
supsr	⊢ (((A ⊆ R ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ R → (w ∈ A → w ∈ R))
2		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (w = if(w ∈ R, w, 0R) → (w ∈ A ↔ if(w ∈ R, w, 0R) ∈ A))
3	2	imbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (w = if(w ∈ R, w, 0R) → ((w ∈ A → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))) ↔ (if(w ∈ R, w, 0R) ∈ A → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))))))
4		0r 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ 0R ∈ R
5	4	elimel 1793	. . . . . . . 8 ⊢ if(w ∈ R, w, 0R) ∈ R
6		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = u → (v +R -1R) = (u +R -1R))
7	6	opreq2d 3013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = u → (if(w ∈ R, w, 0R) +R (v +R -1R)) = (if(w ∈ R, w, 0R) +R (u +R -1R)))
8	7	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = u → ((if(w ∈ R, w, 0R) +R (v +R -1R)) ∈ A ↔ (if(w ∈ R, w, 0R) +R (u +R -1R)) ∈ A))
9	8	cbvabv 1424	. . . . . . . 8 ⊢ {v∣(if(w ∈ R, w, 0R) +R (v +R -1R)) ∈ A} = {u∣(if(w ∈ R, w, 0R) +R (u +R -1R)) ∈ A}
10	5, 9	supsrlem6 4024	. . . . . . 7 ⊢ ((if(w ∈ R, w, 0R) ∈ A ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
11	10	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (if(w ∈ R, w, 0R) ∈ A → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))))
12	3, 11	dedth 1784	. . . . 5 ⊢ (w ∈ R → (w ∈ A → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))))
13	1, 12	syli 52	. . . 4 ⊢ (A ⊆ R → (w ∈ A → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))))
14	13	19.23adv 954	. . 3 ⊢ (A ⊆ R → (∃w w ∈ A → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))))
15		n0 1714	. . 3 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃w w ∈ A)
16	14, 15	syl5ib 181	. 2 ⊢ (A ⊆ R → (¬ A = ∅ → (∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))))
17	16	imp31 280	1 ⊢ (((A ⊆ R ∧ ¬ A = ∅) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ifcif 1776   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  supre 4054

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967

metamath.org