Theorem supsrlem2 4020

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypothesis

Ref	Expression
supsrlem.1	⊢ C ∈ R

Assertion

Ref	Expression
supsrlem2	⊢ (A ∈ R ↔ ∃x(x ∈ R ∧ (C +R (x +R -1R)) = A))

Distinct variable group(s):   x,A   x,C

Proof of Theorem supsrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 3985	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
2		mulclsr 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (A ·R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 519	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ R → (A ·R -1R) ∈ R)
4		supsrlem.1	. . . . . 6 ⊢ C ∈ R
5	3, 4	jctir 241	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → ((A ·R -1R) ∈ R ∧ C ∈ R))
6		addclsr 3986	. . . . 5 ⊢ (((A ·R -1R) ∈ R ∧ C ∈ R) → ((A ·R -1R) +R C) ∈ R)
7	5, 6	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ∈ R → ((A ·R -1R) +R C) ∈ R)
8		addclsr 3986	. . . . 5 ⊢ ((((A ·R -1R) +R C) ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (((A ·R -1R) +R C) +R -1R) ∈ R)
9	1, 8	mpan2 519	. . . 4 ⊢ (((A ·R -1R) +R C) ∈ R → (((A ·R -1R) +R C) +R -1R) ∈ R)
10		negexsr 4005	. . . 4 ⊢ ((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) ∈ R → ∃x(x ∈ R ∧ ((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R))
11	7, 9, 10	3syl 21	. . 3 ⊢ (A ∈ R → ∃x(x ∈ R ∧ ((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R))
12		pn0sr 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ R → (A +R (A ·R -1R)) = 0R)
13	12	opreq1d 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ R → ((A +R (A ·R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (0R +R (C +R (x +R -1R))))
14		addclsr 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (x +R -1R) ∈ R)
15	1, 14	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ R → (x +R -1R) ∈ R)
16	15, 4	jctil 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ R → (C ∈ R ∧ (x +R -1R) ∈ R))
17		addclsr 3986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C ∈ R ∧ (x +R -1R) ∈ R) → (C +R (x +R -1R)) ∈ R)
18		0idsr 4000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C +R (x +R -1R)) ∈ R → ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (C +R (x +R -1R)))
19	16, 17, 18	3syl 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ R → ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (C +R (x +R -1R)))
20		oprex 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (C +R (x +R -1R)) ∈ V
21		0r 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0R ∈ R
22	21	elisseti 1355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0R ∈ V
23	20, 22	addcomsr 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (0R +R (C +R (x +R -1R)))
24	19, 23	syl5eqr 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ R → (0R +R (C +R (x +R -1R))) = (C +R (x +R -1R)))
25	13, 24	sylan9eq 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ R ∧ x ∈ R) → ((A +R (A ·R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (C +R (x +R -1R)))
26		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ·R -1R) ∈ V
27	26, 20	addasssr 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A +R (A ·R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (A +R ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R))))
28	25, 27	syl5eqr 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ R ∧ x ∈ R) → (A +R ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (C +R (x +R -1R)))
29		0idsr 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ R → (A +R 0R) = A)
30	29	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ R ∧ x ∈ R) → (A +R 0R) = A)
31	28, 30	cleq12d 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ R ∧ x ∈ R) → ((A +R ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R) ↔ (C +R (x +R -1R)) = A))
32	1	elisseti 1355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1R ∈ V
33		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ x ∈ V
34	32, 33	addasssr 3991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = (((A ·R -1R) +R C) +R (-1R +R x))
35	32, 33	addcomsr 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R +R x) = (x +R -1R)
36	35	opreq2i 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ·R -1R) +R C) +R (-1R +R x)) = (((A ·R -1R) +R C) +R (x +R -1R))
37	4	elisseti 1355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ C ∈ V
38		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x +R -1R) ∈ V
39	37, 38	addasssr 3991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ·R -1R) +R C) +R (x +R -1R)) = ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))
40	34, 36, 39	3eqtr 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))
41	40	cleq1i 1108	. . . . . . . 8 ⊢ (((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R ↔ ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R))) = 0R)
42		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R))) = 0R → (A +R ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R))
43	41, 42	sylbi 174	. . . . . . 7 ⊢ (((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R → (A +R ((A ·R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R))
44	31, 43	syl5bi 183	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ R ∧ x ∈ R) → (((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R → (C +R (x +R -1R)) = A))
45	44	exp 291	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → (x ∈ R → (((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R → (C +R (x +R -1R)) = A)))
46	45	imdistand 342	. . . 4 ⊢ (A ∈ R → ((x ∈ R ∧ ((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R) → (x ∈ R ∧ (C +R (x +R -1R)) = A)))
47	46	19.22dv 947	. . 3 ⊢ (A ∈ R → (∃x(x ∈ R ∧ ((((A ·R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R) → ∃x(x ∈ R ∧ (C +R (x +R -1R)) = A)))
48	11, 47	mpd 46	. 2 ⊢ (A ∈ R → ∃x(x ∈ R ∧ (C +R (x +R -1R)) = A))
49		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((C +R (x +R -1R)) = A → ((C +R (x +R -1R)) ∈ R ↔ A ∈ R))
50	16, 17	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ R → (C +R (x +R -1R)) ∈ R)
51	49, 50	syl5bi 183	. . . . 5 ⊢ ((C +R (x +R -1R)) = A → (x ∈ R → A ∈ R))
52	51	com12 13	. . . 4 ⊢ (x ∈ R → ((C +R (x +R -1R)) = A → A ∈ R))
53	52	imp 277	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ∧ (C +R (x +R -1R)) = A) → A ∈ R)
54	53	19.23aiv 952	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ R ∧ (C +R (x +R -1R)) = A) → A ∈ R)
55	48, 54	impbi 139	1 ⊢ (A ∈ R ↔ ∃x(x ∈ R ∧ (C +R (x +R -1R)) = A))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792

This theorem is referenced by:  supsrlem6 4024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967

metamath.org