Theorem supsrlem3 4021

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	⊢ C ∈ R
supsrlem3.2	⊢ A ∈ V
supsrlem3.3	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
supsrlem3	⊢ ((C +R (A +R -1R)) <R (C +R (B +R -1R)) ↔ A <R B)

Proof of Theorem supsrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 3985	. . 3 ⊢ -1R ∈ R
2		supsrlem3.2	. . . 4 ⊢ A ∈ V
3		supsrlem3.3	. . . 4 ⊢ B ∈ V
4		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
5		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
6	4, 5	ltasr 4003	. . . 4 ⊢ (z ∈ R → (x <R y ↔ (z +R x) <R (z +R y)))
7	1	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ -1R ∈ V
8	4, 5	addcomsr 3990	. . . 4 ⊢ (x +R y) = (y +R x)
9	2, 3, 6, 7, 8	caoprord2 3071	. . 3 ⊢ (-1R ∈ R → (A <R B ↔ (A +R -1R) <R (B +R -1R)))
10	1, 9	ax-mp 6	. 2 ⊢ (A <R B ↔ (A +R -1R) <R (B +R -1R))
11		supsrlem.1	. . 3 ⊢ C ∈ R
12		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (A +R -1R) ∈ V
13		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (B +R -1R) ∈ V
14	12, 13	ltasr 4003	. . 3 ⊢ (C ∈ R → ((A +R -1R) <R (B +R -1R) ↔ (C +R (A +R -1R)) <R (C +R (B +R -1R))))
15	11, 14	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((A +R -1R) <R (B +R -1R) ↔ (C +R (A +R -1R)) <R (C +R (B +R -1R)))
16	10, 15	bitr2 152	1 ⊢ ((C +R (A +R -1R)) <R (C +R (B +R -1R)) ↔ A <R B)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  supsrlem6 4024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-ltr 3964  df-m1r 3967

metamath.org